Векторы и действия над ними

Глава 2

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.Вычислить модуль вектора .

2.Даны координаты вектора x = 4, y = –12. Определить третью координату z при условии, что | | = 13.

3.Даны точк A(3, –1, 2) и B(–1, 2, 1). Найти координаты векторов и .

4.Дан модуль вектора | | = 2 и углы a = 45°, b= 60°, g = 120°, которые составляет вектор с осями координат. Вычислить проекции вектора на координатные оси.

5. Вычислить направляющие косинусы вектора {12; –15; –16}.

6.Определить координаты точки M, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

7.Как должны быть связаны ненулевые векторы и , чтобы имело место соотношение: 1) ; 2) .

8.По сторонам OA и OB прямоугольника OACB отложены единичные векторы и (см. рис.1.3). Выразить через и векторы если | | = 4 и | | = 3.

Рис. 1.3

9.Построить вектор =2 +3 +6 , определить его длину и направление (проверить по формуле ).

10.Радиус-вектор точки M составляет с осью Ox угол 45° и с осью Oy угол 60°. Длина его r = | |= 6 . Определить координаты точки M, если ее координата z отрицательна, и выразить вектор через орты , , .

11.Даны точки A(1, 2, 3) и B(3, –4, 6). Построить вектор = , его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора с осями координат.

12.Построить параллелограмм на векторах и определить его диагонали.

13. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1, –2, 3), B(3, 2, 1) и C(6, 4, 4). Найти его четвертую вершину D.

Указание. Из равенства следует, что равны и их координаты: x – 1 = 6 – 3 и т.д.

14.На плоскости xOy построить векторы: . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и .

15.Установить, в каких случаях тройки векторов , и будут линейно зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить вектор как линейную комбинацию векторов и :

1) ={5; 2; 1}; ={–1; 4; 2}; ={–1; –1; 6};

2) ={6; 4; 2}; ={–9; 6; 3}; ={–3; 6; 3};

3) ={6; –18; 12}; ={–8; 24; –16}; ={8; 7; 3}.

16. Даны: | | = 13; | | = 19 и | + | = 24. Вычислить | – |.

17.Проверить коллинеарность векторов = {2; –1; 3} и = {–6; 3; –9}. Установить, какой из них длиннее и во сколько раз, как они направлены - в одну или в противоположные стороны.

18.Определить, при каких значениях a и b векторы = –2 +3 +b и = a –6 +2 коллинеарны.

19.Проверить, что четыре точки A (3, –1, 2), B (1, 2, –1), C (–1, 1, –3), D (3, –5, 3) служат вершинами трапеции.

§2. Скалярное произведение

Векторы и образуют угол 2p/3. Зная, что | | = 3; и | | = 4, вычислить:

20. ; 21.( + )² ; 22. (3 –2 )( +2 );

23. ²; 24. ( – )²; 25. (3 +2 )².

26.Определить угол между векторами = – + и = –2 +2 .

27. Определить углы DABC с вершинами A(2; –1; 3), B(1; 1; 1) и C(0; 0; 5).

28. Даны векторы = {4; –2; –4} и = {6; –3; 2}. Вычислить скалярное произведение векторов 2 –3 и +2 .

29.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах = 2 + и = –2 + .

30.Даны векторы = + +2 и = – +4 . Определить и .

31.Раскрыть скобки в выражении (2 – )· +( –2 )· +( –2 )².

32. Дан вектор =2 – , где и – единичные векторы с углом 120° между ними. Найти и .

33.Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор + был перпендикулярен вектору – .

34.Даны единичные векторы , и , удовлетворяющие условию + + = 0. Вычислить · + · + · .

35.Дано: | | = 3; | | = 5. Определить, при каком значении a векторы ( +a· ), ( –a· ) будут взаимно перпендикулярны.

36.Даны три вектора: , и . Вычислить .

37.

38.

39.