Координаты вектора в данном базисе.

Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.

В трехмерном векторном пространстве базис состоит из трех векторов, который обычно обозначается так: {е₁, е₂, е₃}.

Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы попарно перпендикулярны. Ортонормированный базис обычно обозначается так: {i, j, k}.

Координатами вектора m в базисе {е₁, е₂, е₃}называются коэффициенты разложения вектора m по векторам базиса, т.е. если m = хе₁ + уе₂ + zе₃, то числа х, у, z - координаты вектора m. В этом случае будем записывать m(х, у, z).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

если вектор m= xа +ybи а(а₁,а₂,а₃), b(b₁,b₂,b₃) m(m₁,m₂,m₃), то

m₁ =x a₁ + y b₁, m₂ =x a₂ + y b₂, m₃ =x a₃ + y b₃.

1.24. Даны векторы а(2, 3, -1), b (0,1,4), с(1,0,-3). Найти координаты векторов: а) 2а - b -2с,б)а - b -3с,в)а +2b +3с),г) а - b – с,

д) ( а + b), е) (а - 2 b + с).

ОТВЕТ. а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3), е) (1, ,-4)

ПРИМЕР 1.7

Даны векторы а(1,1,2), b (-2, 3 5), с(-4,1,1), d (0, -1, 3) Можно ли вектор dпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с? Если да, то найти коэффициенты этой линейной комбинации.

РЕШЕНИЕ

Выясним, существуют ли такие числи х, у, z, что

d =ха +уb +z с.(1)

По теореме о координатах линейной комбинации векторов из равенства (1) получаем выражение для первой координаты вектора dчерез первые координаты векторов а, b, с, и аналогичные выражения для вторых и третьих координат

0 = х - 2у - 4 z (2)

-1 = х + 3у + z (3)

3 = 2х + 5у + z (4)

Выясним, имеет ли эта система решение. Из (2) следует, что

х = 2у + 4z (5)

Затем, подставляя (5) в (3) и (4), получаем:

5у + 5z = -1 (6)

9у + 9z = 3 (7)

Система, состоящая из уравнений (2), (3), (4), равносильна системе, состоящей из уравнений (5), (6), (7) . Ясно, что последняя система не имеет решений, следовательно, и данная система не имеет решений,. Поэтому вектор dнельзяпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с. ■

1.25. Определить, какие из данных троек векторов линейно зависимы:

а) а(-3,0, 2), b (2, 1, -4), с(11, -2, -2); б) а(1, 0, 7), b (-1, 2, 4), с(3, 2, 1);

в) а(5, -1,4),b (3,-5, 2), с(-1,-13, -2).

ОТВЕТ.. а), с) линейно зависимы.

1.26. Представить вектор d как линейную комбинацию векторов а, b, с:

1)а(2,3,1), b (5, 7, 0), с(3, -2, 4), d (4, 12, -3);

2) а(5, -2, 0), b (0, -3, 4), с(-6, 0, 1), d (25, -22, 16);

3)а(3, 5, 6), b (2, -7, 1), с(12, 0, 6), d (0, 20, 18).

ОТВЕТ. 1) d = а + b + с, 2) d = 5а + 4b, 3) d = 4а – с.

1.27. Можно ли вектор d (1,1,1) представить в виде линейной комбинации векторов а(1,-1,0), b (2,2,1), с(0,-4,-1)?

ОТВЕТ.. Нет.

1.28. Даны векторы а(х, 3, 4), b (-1, 5, у).Существуют ли такие числа х и у, для которых система векторов {а, b }линейно зависима ?

ОТВЕТ. Да, х = - , у = .

ПРИМЕР 1.8

В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ К – середина ребра АА₁, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = ВС, О = А₁С₁ В₁D₁. Найти координаты вектора в базисе { , , } .

РЕШЕНИЕ

Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор через векторы , , ,поэтому будем действовать так же, как при решении ПРИМЕРА 1.3.

1) = + = + = 2 + , т.е.

=2 + . (1).

2) Выразим вектор через базисные векторы.

= + = - + .(2)

3) Выразим вектор через базисные векторы.

= + = = - – (3)

4) Подставим (2) и (3) в (1), получим

= 2(- + ) + (- – ) = 2– – .

Следовательно, первая координата вектора равна 2, вторая координата равна - , третья координата равна - , т.е. (2, - , - ).

ОТВЕТ. (2, - , - ).

1.29. АВСD – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АDС, N – середина АВ, Р ВС и ВР : РС = 1 :2. Найти координаты векторов , в базисе { , , } .