Решить следующие задачи.

1.1. Дан параллелограмм АВСD . Построить векторы: а) – ,

б) , в) + , г) + – – ,

д) + – – .

ОТВЕТ.. в) ;г) ; д) .

1.2. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Построить векторы: а) + – ;б) + – + .

ОТВЕТ.. а) ;б).

1.3. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁. N, К, М – середины ребер D₁С₁, ВС, СС₁. Построить векторы: а) + – – ;

б) + + – – ;в) + – + .

ОТВЕТ. а) ;б) ; в) .

1.4. АМ – медиана треугольника АВС Доказать, что = ( + ).

1.5. Дан тетраэдр АВСD. К – точка пересечения медиан грани ВСD. M, N, S – середины ребер СD, ВD, АС. Построить векторы

а) + – + , б) – – + .

ОТВЕТ. . а) ; б) .

.

1.6. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁. М и N – середины ребер D₁С₁ и АD, О = В₁С ВС₁. Построить векторы: а) + – ;

б) + – - + ( + );

в) + – + – – .

ОТВЕТ. а) ; б) ; в) .

1. 7. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, Р – середина АВ. Доказать, что для любой точке О пространства: 1) = ( + ) , в частности, = ( );

2) = ( + + ).

1.8. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Доказать, что

+ + = 0.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из этого свойства следует, что точка О является центром тяжести треугольника АВС. Поэтому точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести этого треугольника.

1.9. Основанием пирамиды МАВСD является параллелограмм АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. Доказать, что

1.10. В тетраэдре АВСD М, К, Р – середины ребер ВС, СD, DВ. Доказать, что + .

1.11. В треугольной призме АВСА₁ В₁С₁ М и М₁ – точки пересечения медиан оснований АВС и А₁В₁С₁. Доказать, что .

1.12. АВСD параллелограмм, О – произвольная точка пространства. Доказать, что + = + .

1.13. Доказать, что если для некоторого четырехугольника АВСD и некоторой точки О пространства выполняется векторное равенство

+ = + ,то АВСD – параллелограмм.

ЗАМЕЧАНИЕ.

1) Даны векторы с₁, с₂, . . .с_n и числа α₁,α₂, …α_n .Вектор

α₁с₁ +α₂с₂ + … +α_n с_n называется линейной комбинациейвекторов

с₁ , с₂ , … с_n , а числаα₁,α₂, …α_n называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Если вектор аявляется линейной комбинацией векторов с₁, с₂, . . .с_n, т.е.

а = α₁с₁ +α₂с₂ + … +α_n с_n, то будем говорить, что вектор а выражен через векторыс₁, с₂, …с_nили что вектора разложен по векторамс₁, с₂, …с_n .

2) Если некоторый вектор надо выразить через данные векторы, то сначала вектор амы представляем как сумму некоторых векторов или как произведение некоторого вектора на число. Затем с каждым полученным таким образом вектором поступаем аналогично, пока не получим линейную комбинацию данных векторов. Проиллюстрируем это, решая ПРИМЕР1.3.

ПРИМЕР 1.3

Дан тетраэдр АВСD. К – середина ребра ВС, точка М принадлежит ребру АD и DМ = DА. = а, = b, = с. Выразить вектор через векторы а, b, с.

РЕШЕНИЕ.

1) Представим вектор как сумму двух векторов:

= . (1)

2) Теперь вектор представим в виде линейной комбинации векторов а, b, с.

=2 =2( ) =2 ( -с - b)(2).

3) Теперь выразим вектор как линейную комбинацию векторов а, b, с.

= = b +3 = b –3а.(3)

4) В равенство (1) подставит разложения векторов и из равенств (2) и (3). =2 ( -с - b) + b –3а = -3а – b –2с.

ОТВЕТ. = -3а - b –2с.

1.14. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О.

а) Выразить векторы , , через векторы и ;

б) выразить векторы , , через векторы и.

ОТВЕТ. а) = , ;

б) = - ( ), , .

ОТВЕТ. а) = , ;

б) = - ( ), , .

1.15. АВСD – тетраэдр. М, N, Р, Q – середины ребер АD, АВ, ВС, СD.

а) Выразить векторы и через векторы , , ;

б) выразить векторы и через векторы , , .

ОТВЕТ. а) = - , = - – – ;

б) = + , = - + – .

1.16. АВСDА₁В₁С₁D₁ – куб. О = В₁С ВС₁, М – середина АВ.

а) Выразить вектор через векторы , , ;

б) выразить векторы через векторы , , .

параллелен биссектрисе угла АОВ.

ОТВЕТ. а) = – + ;б) = - – ,

– – , = - + .