Декартовы координаты в пространстве

Совершенно аналогично вводятся координаты в пространстве. А именно, берутся три координатные оси, пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной плоскости. Масштабные единицы на осях, вообще говоря, могут быть опять вы­браны различные. Кроме них, для из­мерения всех длин в пространстве выбирается общая «абсолютная масштабная единица», которой, в частности, измеряются и длины масштабных единиц на осях. В качестве начала отсчета на всех трех осях берется точка их пересечения О (начало координат). Одну из координатных осей называют осью абсцисс (осью х), другую — осью ординат (осью у) и третью — осью аппликат (осью z). Плоскость, проходящая через оси х и у, называется координатной плоскостью ху, плоскость, проходящая через оси у и z,—координатной плоскостью уz и плоскость, проходящая через оси х и z, — координатной плоскостью хz. Для того чтобы задать числами положение точки М в пространстве, проводят через эту точку плоскости, параллельные координатным плоскостям. Плоскость, параллельная координатной плоскости уz, пересечет ось абсцисс в некоторой точке М ; плоскость, параллельная координатной плоскости xz, пересечет ось ординат в некоторой точке М ; плоскость, параллель­ная координатной плоскости ху, пересечет ось аппликат в некоторой точке М . Пусть х, у, z— координаты точек М , М , М на соответствующих осях. Положение точки М вполне определяется заданием чисел х, у, z. Эти числа называются декартовыми коор­динатами точки М, при этом х — абсциссой, у — ординатой и z — аппликатой. Параллелепипед O М М М ABCM, высекаемый координатными плоскостями и параллельными им плоскостями, проходящими через точку М, называется координатным параллелепипедом точки М; его ребра (и в частности от­резки О М , М , М ) называются координатными отрезками точки М. Чтобы указать, что точка М имеет координаты х, у и z, пишут: M{x,y,z); при этом абсциссу поме­щают на первом месте, ординату — на втором и аппликату — на третьем. Точку с абсциссой х, ординатой у и аппликатой z записывают также символом (х,у, z). Таким образом, каждой точке пространства соответствует вполне определенная упорядоченная тройка вещественных чисел; обратно, каждой упорядочен­ной тройке вещественных чисел соответствует вполне определен­ная точка пространства. Иными словами, между совокупностью всех точек пространства и совокупностью всех упорядоченных троек вещественных чисел установлено взаимно однозначное соответствие. Начало координат О имеет координаты 0, 0, 0. Точки оси абсцисс имеют вид (х, 0, 0), точки оси ординат—вид(0, у, 0), точки оси аппликат — вид (0,0, z). Точки координатной плоскости ху имеют вид (х, у, 0), точки координатной плоскости yz — вид (0, у, z), точки координатной плоскости xz — вид (х, 0, z). Коорди­натные плоскости разбивают все пространство на восемь трехгран­ных углов.

5. Правая и левая системы координат в пространстве. На рис. изображены два типа взаимного расположения координатных осей в пространстве. Представим себя в роли наблюдателя, стоящего на плоскости ху с той ее стороны, в которую обращена ось z, и обращенного в сторону положительного направления оси х. Тогда в случае, изображенном на черт.1, ось у будет, идти справа налево и система координат на плоскости ху будет представляться нам как правая, а в случае, изображенном на черт, 2, ось у будет идти слева направо и система координат на плоскости ху будет представляться нам как левая. В первом случае координатную систему хуz называют правой, во втором — левой.

В случае плоскости обычно пользуются правой системой координат; при этом ocь х чертят горизонтально и поло­жительным направлением на ней считают направление слева на­право; тогда положительным направлением на оси у является направление снизу вверх. В случае пространства пользуются и той и другой системой координат; мы будем пользоваться преимущественно правой.

6. Общие декартовы; косоугольные и прямоугольные коорди­наты. Описанные координаты — как на плоскости, так и в пространстве — называются общими декартовыми координатами. Если масштабные единицы на осях совпадают с выбранной абсолютной масштабной единицей, но углы между осями — не все прямые, то получаем так называемые косоугольные координаты, которыми много пользовались в некоторых прежних курсах аналитической геометрии; мы ими пользоваться совсем не будем. Если, кроме того оси взять взаимно перпендикулярными, то получатся прямоугольные координаты, наиболее часто употребляемые в практике.

Таким образом, прямоугольными координатами называются декар­товы координаты, удовлетворяющие двум условиям: 1) координатные оси взаимно перпендикулярны и 2) масштабные единицы на осях совпадают с абсолютной единицей измерения длин. В наимено­вании этих координат прямоугольными отражено только первое из этих двух условий.