Нахождение смешанного произведения через координаты векторов

Пример 1. Дано: ве 3 рамма построенного на векторах векторовнечной точек: , , .

Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение.

а) ;

б) с учетом свойств скалярного произведения имеем:

Пример 2. Даны векторы = (2; –1; – 2) и = (8; – 4; 0).

Найти: а) векторы = 2 и = – ; б)длины векторов и ; в) скалярный квадрат вектора ; г) скалярное произведение векторов и ; д) угол между векторами и .

Решение. а) По определению =2, =(4;–2;–4); = – =(6;–3;2).

б) Найдем длины векторов и :

.

в) Скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.

.

г) По формуле (3.7) скалярное произведение векторов и равно:

.

д) По формуле(3.8) найдем косинус угла между векторами и :

.

Тогда угол между векторами и равен:

.

Пример 3. Найти внутренний угол при вершине A в треугольнике с вершинами A(1; 2; –1), B(5; 5; 4) и C(13; 18; 20).

Решение. Найдем координаты векторов и .

, . По формуле (3.8) имеем

.

Таким образом, .

Пример 4. Найти длину вектора , перпендикулярного векторам и .

Решение. Искомый вектор . По формуле (3.10) находим:

.

!Проверьте самостоятельно вычисление определителей.

Отсюда .

Пример 5. Найти площадь треугольника с вершинами A(2;2;2), B(1;3;3), C(3;4;2).

Решение. .

, .

.

!Проверьте самостоятельно вычисление определителя.

(кв. ед.).

Пример 6. Доказать компланарность векторов , , .

Решение. По формуле (3.15) находим смешанное произведение :

.

!Проверьте самостоятельно вычисление определителей.

=0, а это значит, что векторы компланарны.

Пример 7. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках A(–1;1;0), B(2;–2;1); C(3;1;–1); D(1;0;–2).

Решение. Рассмотрим векторы , , .

Искомый объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , и . По формуле (3.17):

.

!Проверьте самостоятельно вычисление определителя.

(куб. ед.).

Пример 8. Найти объем параллелепипеда построенного на векторах , где , , .

Решение. Найдем смешанное произведение векторов по формуле (3.15):

.

Искомый объем параллелепипеда, построенного на векторах , и по формуле равен:

(куб. ед.).

Пример 9. Пусть в магазине имеется набор из 5 товаров, количество и стоимость (в тыс. руб.) которых указана в таблице

Требуется определить общую стоимость товара в магазине.

Решение. Введём в рассмотрение вектор , координатами которого являются количество i – го товара (i = 1,2,3,4,5) и вектор , образованный из цен на эти товары. Тогда искомую общую стоимость S можно найти по формуле

Пример 10.На предприятии имеется шесть цехов. Плановые задания цехов (в млн. руб.) образуют вектор план

Предположим, что к какому-то моменту цехи выполнили свои планы соответственно на 20%,40%.50%,70%,30%,10%.Определить стоимость S произведенной предприятием продукции на данный момент.

Решение.

Если ввести в рассмотрение вектор выполнения плана, то имеем