Покажем, как выражаются векторное и смешанное произведения через координаты векторов.
Предложение1. Если
и 
,
то
, (1)
где правая часть по определению равна
.
Имеем следующую таблицу умножения координатных ортов:
Пользуясь свойствами векторного произведения, получим:
( ) 
( )=
. 
Пример. Даны три точки: 
, 
, 
. Найдем площадь S тре-угольника 
. 
Заметим, что искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, т.е. верна формула
.
Так как 
, 
, то
и, значит,
.
Ответ: 
. ð
Предложение 2. Смешанное произведение векторов
, , 
вычисляется по формуле
.
По предыдущему утверждению,
.
Следовательно,
.
Пример. Даны точек 
, 
, 
, 
найдем объем 
пирамиды 
. Искомый объем в 6 раз меньше
объема параллелепипеда, построенного на векторах 
, т.е. верна формула
.
Имеем: 
, 
, 
. Следовательно,
.
Ответ: 
. ð
Замечание. Из предложения 2 следует, что векторы
, , ,
компланарны в том и только в том случае, когда
.
