Определение: Линейное пространство называется евклидовым, если в нем введена операция скалярного произведения, которая ставит в соответствие любым векторам х и у Є L число x•y, удовлетворяющее следующим свойствам:
1° x•y=y•x;
2° (lx)• y= l(x•y);
3° x•(y + z)= x•y + x•z;
4° x • x ³ 0,причем скалярный квадрат x•x= 0 ↔ х= 0.
В Евклидовых пространствах можно ввести понятие длины вектора (модуль вектора) 
и угол между векторами 
.
Нужно показать, что ïcos jï£ 1.
Для этого докажем неравенство Коши - Буняковского (Шварца):
0£│a • b│£│a│·│b│.
Док-во: Рассмотрим скалярный квадрат
(a- lb)•(a- lb)= a • a- la • b- l a • b + l2b • b= │a│2- 2la • b+ l2│b│2³ 0, как скалярный квадрат.
Последнее неравенство рассмотрим как квадратное относительно l.
l2│b│2- 2λa•b +│a│2³ 0.
Чтобы это неравенство выполнялось при любом λ, нужно, чтобы дискриминант D£ 0.
D= b2- 4ac= (-2a•b)2- 4│b│2·│a│2£ 0.
4(a•b) 2- 4│b│2·│a│2£ 0 ê: 4;
(a•b) 2£ │b│2·│a│2.
Извлекаем корень 
:
0£│a • b│£│a│·│b│.
Ч.т.д.
На основании неравенства Коши - Буняковского определение косинуса угла между векторами Евклидова пространства корректно.
Замечание: Евклидово пространства размерности n принято обозначать En,
E2 - евклидово пространство всех векторов на плоскости, E3 - в пространстве.
