Исходное математическое описание процессов в объектах на макроуровне представлено системами алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитические решения таких систем в практических задачах возможно получить очень редко, поэтому в САПР преимущественно используются алгоритмические модели, основанные на применении численных методов.
Исходными для формирования математических моделей объектов являются компонентные и топологические уравнения.
Компонентные уравнения – это уравнения, описывающие свойства элементов (компонентов) системы, т.е. это уравнения математических моделей элементов системы.
Топологические уравнения описывают взаимосвязи элементов в составе моделируемой системы.
В совокупности эти уравнения представляют собой исходную математическую модель системы.
Компонентные и топологические уравнения в системах различной природы отражают разные физические свойства, но могут иметь одинаковый формальный вид. Одинаковая форма записи позволяет говорить о формальных аналогиях компонентных и топологических уравнений. Такие аналогии существуют для механических, электрических, гидравлических, пневматических и тепловых объектов.
Наличие таких аналогий приводит к важному следствию: большая часть алгоритмов формирования моделей в САПР могут быть применены к анализу объектов в совершенно различных предметных областях.
Компонентные уравнения имеют вид:
Fк (dV/ dt, V, t) = 0,
а топологические:
Fт (V) = 0,
где V = (v1, v2,…, vn) – вектор фазовых переменных; t – время.
Различают фазовые переменные двух типов:
1) переменные типа потенциала (например, электрическое напряжение);
2) переменные типа потока (например, сила тока).
Каждое компонентное уравнение характеризует связи между разнотипными фазовыми переменными, относящимися к одному компоненту, а топологическое – связи между однотипными фазовыми переменными в разных компонентах.
4. Примеры компонентных и топологических уравнений
Электрические системы. Фазовыми переменными являются электрические напряжения и токи. Компонентами системы могут быть простые двухполюсные элементы и более сложные двух- и многополюсные элементы. К простым двухполюсникам относятся сопротивление, ёмкость и индуктивность R, C и L.
Компонентные уравнения простых двухполюсников:
u = i R; i = C ; u= L ,
где u – падение напряжения на элементе, i – ток.
Эти модели лежат в основе моделей других более сложных компонентов. Большая сложность может определяться нелинейностью указанных выше уравнений (т.е. связью R, C и L с фазовыми переменными), или учётом зависимостей R, C и L от температуры, или наличием более двух полюсов. Однако многополюсные компоненты могут быть сведены к совокупности взаимосвязанных более простых элементов.
Топологические уравнения выражают закон Кирхгофа для напряжений (ЗКН) и токов (ЗКТ). Согласно ЗКН, сумма напряжений на компонентах вдоль любого замкнутого контура в эквивалентной схеме равна нулю, а в соответствии с ЗКТ сумма токов в любом замкнутом сечении эквивалентной схемы равна нулю:
; .
Механические системы. Фазовыми переменными в механических поступательных системах являются силы и скорости. Для составления компонентных и топологических уравнений используют одну из двух возможных электромеханических аналогий. Выберем ту из них, в которой скорость относят к фазовым переменным типа потенциала, а силу считают фазовой переменной типа потока.
Компонентное уравнение, характеризующее инерционные свойства тел, в силу второго закона Ньютона имеет вид
F = M ,
где F – сила; M – масса; u – поступательная скорость.
Упругие свойства тел описываются компонентным уравнением, которое получается из закона Гука. В одномерном случае (если рассматриваются продольные деформации упругого стержня)
s = E e,
где s – механическое напряжение, E – модуль упругости, e – относительная деформация, e = /l.
Учитывая, что s = F/S, где S – площадь поперечного сечения тела, и дифференцируя (4), имеем
или = j u,
где j – жёсткость, j = SE/l (величина, обратная жёсткости, – податливость Lм); u – скорость, u = d(Dl)/dt.
Диссипативные свойства в механических системах твёрдых тел выражаются соотношениями, характеризующими связь между силой трения и скоростью взаимного перемещения трущихся тел, причём в этих соотношениях производные сил или скоростей не фигурируют.
Топологические уравнения характеризуют, во-первых, закон равновесия сил: сумма сил, приложенных к телу, включая силу инерции, равна нулю (принцип Даламбера); во-вторых, закон скоростей, согласно которому сумма относительной, переносной и абсолютной скоростей равна нулю.
В механических вращательных системах справедливы компонентные и топологические уравнения поступательных систем с заменой поступательных скоростей на угловые, сил – на моменты вращения, масс – на моменты инерции, жёсткостей – на вращательные жёсткости.
Несмотря на аналогию между электрической и механической системами, имеется и существенное отличие: электрические системы одномерны, а процессы в механическиз часто приходится рассматривать в двух- или трёхмерном пространстве. Следовательно, при моделировании механических систем в общем случае нужно использовать векторное представление фазовых переменных, каждая из которых имеет шесть составляющих.
Гидравлические системы. Фазовыми переменными в гидравлических системах являются расход и давление. Как и для механических систем, компонентные уравнения описывают свойства жидкости рассеивать или накапливать энергию.
Для вывода компонентного уравнения для жидкости на линейном участке трубопровода длиной Dl воспользуемся уравнением Навье-Стокса в следующей его форме (для ламинарного течения жидкости)
,
где r – плотность жидкости, u – скорость, p – давление, a – коэффициент линеаризованного вязкого трения. Так как u = Q/S, где Q – объёмный расход, S – площадь поперечного сечения трубопровода, то, заменив пространственную производную отношением конечных разностей, получим
или
,
где Dp – падение давления на рассматриваемом участке трубопровода, Lг – гидравлическая индуктивность, отражающая упругие свойства жидкости, Lг = (Dlr)/S; Rг – гидравлическое сопротивление, отражающее вязкое трение, Rг = 2a/r.
Явление сжимаемости жидкости описывается компонентным уравнением, вытекающим из закона Гука
Dp = E Dl/l.
Дифференцируя (5) и учитывая, что объёмный расход связан со скоростью u = d(Dl)/dt соотношением u = Q/S, получаем
,
где Cг – гидравлическая ёмкость; Cг = E/(S Dl).
РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования: Учеб. для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: МГТУ им. Баумана, 2002. – 336 с.:ил.
Дополнительная литература
2. Алексеев О.В., Головков А.А., Пивоваров И.Ю. и др. Автоматизированное проектирование радиоэлектронных средств: Учебное пособие для вузов / Под ред. Алексеева О.В. – М: Высш. Шк., 2000 – 479 с.:ил.
; u= L 
,
; 
.
или 
= j u,
,
,
,