Кривые второго порядка. Парабола.

Параболой н а з ы в а е т ся м н о ж е с т во в с ех т о ч ек п л о с к о с т и, р а в н о­

у д а л е н н ых от т о ч к и, н а з ы в а е м ой ф о к у с о м, и от п р я м о й, н а з ы в а е мой

д и р е к т р и с о й. Т а к им о б р а з о м, п а р а б о ла з а н и м а ет п р о м е ж у т о ч н ое м е с то м е ж ду э л л и п с ом и г и п е р б о л ой в т ом с м ы с л е, ч то в се т ри к р и в ые м о г ут б ы ть о п р е д е л е ны с в о й с т в ом г d = е, (15)

г де г - р а с с т о я н ие т о ч ки к р и в ой до ф о к у с а, d - р а с с т о я н ие до с о о т­

в е т с т в у ю щ ей д и р е к т р и с ы, s - э к с ц е н т р и с и т е т. П ри s < 1 и м е ем э л­л и п с, п ри s = l - п а р а б о л у, а п ри е > 1 - г и п е р б о л у.

В ыв е д ем у р а в н е н ие п а р а б о лы в д е к а р т о в ой с и с т е ме к о о р д и н ат ( р и с. 7).

4 у \М(х.у) Рис. 7

15 За о сь Ох п р и м ем п р я м у ю, п р о х о д я щ ую ч е р ез ф о к ус и п е р п е н­

д и к у л я р н ую д и р е к т р и с е. За о сь Оу п р и м ем п р я м у ю, п е р п е н д и к у л яр­

н ую о си Ох и д е л я щ ую р а с с т о я н ие м е ж ду ф о к у с ом и д и р е к т р и с ой

п о п о л а м. О б о з н а ч им р а с с т о я н ие м е ж ду ф о к у с ом и д и р е к т р и с ой р. Т о г даР

F(— ,0) - ф о к ус п а р а б о л ы, а д и р е к т р и са п е р п е н д и к у л я р на ф о к а л ь н ой

Р о си и и м е ет у р а в н е н ие х = - ^-. П у с ть М(х,у) - п р о и з в о л ь н ая т о ч ка п а р а б о л ы, т о г да Р MN = х + ^- - р а с с т о я н ие э т ой т о ч ки до д и р е к т р и с ы, г = FM == ^ ( х - ^ )2 + у2 - р а с с т о я н ие до ф о к у с а. По о п р е д е л е н ию п а р а б о л ы, э ти р а с с т о я н ия р а в н ы:

П о с ле п р е о б р а з о в а н ий п о л у ч а е м: ( * - f )2+ / = ( * + f ) \ 2 2

2 ^ 2 2 Р

х — рх л V у = х + рх л . 4 4 О т с ю да к а н о н и ч е с к ое у р а в н е н ие п а р а б о лы у

=2рх. (16)

Т о ч ка 0(0,0) - в е р ш и на п а р а б о л ы, о сь Ох - о сь с и м м е т р ии п а­

р а б о лы ( р и с. 8).

П у с ть и з в е с т на т о ч ка п а р а б о лы М(х0

,у0). Н а й д ем ф о к а л ь н ый р а д и ус г: г = FM = MN, г = х 0 + ^ . (17)

16 Е с ли д и р е к т р и су п а р а б о лы п о м е с т и ть с п р а ва от н а ч а ла к о о р д и­

н а т, то п а р а б о ла б у д ет р а с п о л о ж е н а, к ак п о к а з а но на р и с. 9. и

F(-p/2;0) j || Рис. 8 Рис. 9

В э т ом с л у ч ае у р а в н е н ие п а р а б о лы п р и м ет в ид у2=-2рх. (18)

П а р а б о ла м о ж ет б ы ть с и м м е т р и ч на о н о с и т е л ь но о си Оу, в э т ом

с л у ч ае ее ф о к ус б у д ет л е ж а ть на о си Оу, а д и р е к т р и с ой б у д ет п р я м а я,

п а р а л л е л ь н ая о си Ох. П ри э т ом к о о р д и н а т н ые о си п о м е н я ю т ся м е с­

т а м и, и у р а в н е н ие п а р а б о лы п р и м ет в ид х2=2ру, (19)

е с ли в е т ви п а р а б о лы н а п р а в л е ны в в е рх ( р и с. 10), и х2=-2ру, (20)

е с ли в е т ви н а п р а в л е ны в н из ( р и с. 11). 4* У=р/2 у = -р/2