Решение

Длину вектора, равного сумме векторов и определим воспользовавшись теоремой косинусов для параллелограмма (рис.).

После подстановки

.

Для определения угла β воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

При этом следует знать, что

.

Решая тригонометрическое уравнение, приходим к выражению

,

следовательно,

,

Сделаем проверку, воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника:

,

откуда

и

.

Ответ: c = 4,4; β = 23°.

Решите задачи.

8. Для векторов и , определенных в примере 7, найдите длину вектора угол γ между и .

9. Найдите проекцию вектора на прямую, направление которой составляет угол α = 30^О с осью OX. Вектор и прямая лежат в плоскости XOY.

10. Вектор составляет угол α = 30^О с прямой АВ, a = 3,0. Под каким углом β к прямой АВ нужно направить вектор ( ), чтобы вектор был параллелен АВ? Найдите длину вектора .

11. Заданы три вектора: ; ; . Найдите а) ; б) ; в) ; г) .

12. Угол между векторами и равен α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Найдите длины векторов и .

13. Докажите, что векторы и перпендикулярны, если a = {2, 1, −5} и b = {5, −5, 1}.

14. Найдите угол α между векторами и , если a = {1, 2, 3}, b = {3, 2, 1}.

15. Вектор составляет с осью OX угол α = 30^О, проекция этого вектора на ось OY равна a_y = 2,0. Вектор перпендикулярен вектору и b = 3,0 (см. рис.).

Вектор . Найдите: a) проекции вектора на оси OX и OY; б) модуль c и угол β между вектором и осью OX; в) ; г) .

 Ответы:
9. a₁ = a_xcosα + a_ysinα ≈ 7,0.

10. β = 300^О; c = 3,5.

11. а) 5 + ; б) + 3 − 2 ; в) 15 − 18 + 9 .

12. c = 2,6; d = 1,7.

14. α = 44,4°.

15. а) b_x = −1,5; b_y = 2,6; б) с = 5; β ≈ 67°; в) 0; г) 16,0.