Умножение вектора на скаляр

Произведение вектора на скаляр k равно вектору , модуль которого в k раз больше модуля вектора , а направление совпадает с направлением при положительном k и противоположно ему при отрицательном k.

Пример 4

Определить импульс тела массой 2,0 кг, движущегося со скоростью, модуль которой 5,0 м/с (рис. 10).

Импульс тела ; модуль импульса , импульс направлен в сторону скорости .

Пример 5.

Заряд q = −7,5 нКл помещен в электрическое поле с напряженностью, модуль которой E = 400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

Сила равна . Так как заряд отрицательный, то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору (рис. 11).

Модуль силы

.

Деление вектора на скаляр k равнозначно умножению на .

Скалярным произведением векторов и называют скаляр «c», равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

или (рис. 12).

Скалярное произведение обладает свойством коммутативности:

,

Пример 6

Найти работу постоянной силы, модуль которой F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120^О.

Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения

.

Векторным произведением векторов и называют вектор , модуль которого равен произведению модулей векторов a и b, умноженных на синус угла между ними:

, .

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , причем его направление связано с направлением векторов и правилом правого винта (рис. 13). Векторное произведение не обладает свойством коммутативности:

.

Пример 7.

Определить силу, действующую на проводник длиной 0,2 м, помещенный в  магнитном поле, индукция которого 5 Тл, если сила тока в проводнике 10 А и он образует угол α = 30^О с направлением поля.

Сила Ампера: , где – вектор, модуль которого равен длине проводника, а направление совпадает с направлением электрического тока в проводнике.

Модуль силы Ампера:

.