Векторна алгебра

1. Скалярні та векторні величини

Величини, що розглядаються в математичних, фізичних та інших дисциплінах, можна поділити на два види: скалярні й векторні. Скалярною величиною (скаляром) називається величина, яка повністю характеризується своїм числовим значенням. Приклади скалярних величин: довжина, об’єм, маса, час, температура, урожайність.

Векторною називається величина, яка характеризується своїм числовим значенням і напрямом в просторі (наприклад, переміщення точки, прискорення, сила).

1.1. Вектори

Векторні величини геометрично зображаються за допомогою векторів. Вектором, зображаючим векторну величину називається:

а) у випадку напрямлений відрізок, довжина якого у вибраному масштабі дорівнює числовому значенню і напрям якого збігається з напрямом ;

б) у випадку — нульовий відрізок.

Вектор позначається: однією (переважно малою) буквою з рискою, або стрілкою зверху (наприклад, або ); однією (переважно малою) буквою жирного шрифту (наприклад, ); двома великими буквами з рискою, або стрілкою зверху. Перша буква означає початок вектора, а друга — кінець (наприклад, або ). Вектор, який є нульовим відрізком, називається нульовим (нуль-вектор) і позначається . Довжина вектора (або модуль вектора) позначається: ,

Вектор, модуль якого дорівнює 1, називається одиничнимвектором і позначається буквами . Одиничний вектор, паралельний і однаково напрямлений з ненульовим вектором , називається ортом вектора і позначається (рис. 1). Тоді .

Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Якщо з двох векторів хоча б один нульовий, то дані вектори колінеарні.

Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або на паралельних площинах. Якщо з трьох векторів принаймні один нульовий, то дані вектори компланарні.

Рис. 2

Два вектора називаються рівними, якщо вони колінеарні ( ), мають однакові модулі ( ) і однакові напрями ( ) (рис. 2). Ясно, що з не випливає .

Рис. 3

Зауваження. Для векторів не встановлено поняття “більше” і “менше”.

Вектор, колінеарний з ненульовим вектором , модуль якого рівний модулю і напрям якого протилежний напряму називається протилежним до вектора і позначається (рис. 3).

Правою (лівою) трійкою векторів називається упорядкована трійка ненульових некомпланарних векторів

зі спільним початком таких, що найкоротший поворот від до , якщо спостерігати його з кінця відбувається проти руху годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою) (рис. 4).

Кутом між двома ненульовими векторами називається найменший кут, на який необхідно повернути один з них, щоб він виявився колінеарним і однаково напрямленим з другим, і який вважається невід’ємним (рис. 5). Ясно, що такий кут єдиний і заключений в інтервалі . Кут між і позначається .

Вектор, початок якого збігається з початком декартової системи координат, а кінець з точкою називається радіус-вектором точки і позначається (рис. 6).

Вправи для самостійного розв’язування

Диск обертається з кутовою швидкістю . Описати вектор

швидкості його точки, що розміщена на відстані від осі обертання (рис. 7).

Відповідь. Вектор розміщений на дотичній до траєкторії точки, його модуль рівний і спрямований в бік руху точки.

 Довести, що якщо два вектори неколінеарні, то вони ненульові.

 Довести, що якщо три вектори некомпланарні, то вони ненульові.

 Показати, що якщо в правій (лівій) трійці векторів поміняти місцями два будь-яких вектори, то одержимо ліву (праву) трійку векторів.

 Дано рівносторонній трикутник ABC з центром О. Знайти

, , , , .

 Чи всякі колінеарні вектори є компланарними?

 Чи нуль-вектор можна вважати колінеарним всякому іншому вектору?

2. Дії над векторами

2.1. Додавання векторів

Розглянемо впорядковану сукупність векторів

. (1)

Вектор, початок якого збігається з початком , а кінець з кінцем при умові, що відкладемо від кінця , вектор відкладемо від кінця і т. д. називається сумою векторів (1) і позначається

(рис. 8).

Знаходження суми векторів назива-

ється їх додаванням.

Зауваження 1. Якщо при додаванні векторів кінець останнього збігається з початком першого, то сума дорівнює .

Зауваження 2.Додавання двох неколінеарних векторів і можна виконувати за так званим правилом паралелограма (на відміну від цього правила звичайне додавання за правилом трикутника), яке полягає у наступному:

а) вектори і зводяться до спільного початку;

б) будується паралелограм на даних векторах, як на сторонах;

в) діагональ паралелограма, що виходить із спільного початку двох даних векторів є вектором – сумою векторів і (рис. 9).

ПРИКЛАД 1.Маємо паралелепіпед (рис. 10). Вектор є сумою векторів .

ПРИКЛАД 2.По прямолінійних рельсах із швидкістю рухається платформа, на якій в перпендикулярному до рельс напрямі з швидкістю рухається тіло

(рис. 11). Швидкість даного тіла відносно землі є вектор , побудований так, як показано на рис. 11.

Властивості додавання векторів

1. ;

2. ;

3. (комутативна властивість, від лат. comutatus — зміна, перетворення);

4. (асоціативна властивість, від лат. associo — приєднувати).

5. , причому рівність має місце тільки тоді, коли вектори колінеарні.

ЗАУВАЖЕННЯ. Властивість 3 узагальнюється на будь-яку скінчену кількість векторів: результат додавання будь-якої скінченої кількості векторів не залежить від порядку їх запису.

Вправи для самостійного розв’язування

 Маємо паралелепіпед , в якому , , . Записати через вектори вектори , , , , .

Відповідь. , , , , .

 Довести, що .

 Вектори , та мають один початок. Яку умову повинні задовольняти неколінеарні вектори і , щоб вектор ділив кут між ними пополам?

Відповідь. .

 Маємо . Знайти .

Відповідь. .

2.2. Віднімання векторів

Розглянемо упорядковану пару векторів , . Вектор, який при додаванні з дає , тобто початок якого збігається з кінцем , а кінець — з кінцем при умові, що вектори і відкладені від однієї точки, називається різницею векторів , і позначається -

(рис. 12).

Знаходження різниці векторів називається відніманням векторів. Вектор, який збігається з діагоналлю паралелограма, що з’єднує

кінці векторів, називається вектором-різницею - векторів , .

Властивості віднімання векторів

1. .

2. .

 Доведення.



Вправи для самостійного розв’язування

 Яку умову повинні задовольняти вектори і , щоб:

а) ;

б) ?

Відповідь.а) ; б) і колінеарні, протилежно спрямовані вектори.

 Маємо Знайти .

Відповідь.22.

 Маємо . Знайти .

Відповідь.7.

2.3. Множення вектора на число

Добуткомвектора на число називається колінеарний з вектор, модуль якого дорівнюється і який спрямований однаково з при ; протилежно при і невизначено — як нуль-вектор — при виконанні принаймні однієї з рівностей і позначається або (рис. 13).

Знаходження добутку вектора на число називається їх множенням.

Властивості множення вектора на число

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Якщо , то .

 Доведення.

, тобто — одиничний вектор і цей вектор, очевидно, колінеарний і однаково спрямований з .

Отже, . 

7. Якщо , то .

 Доведення.

. 

8. Якщо і колінеарний з вектор, то , причому таке представлення єдине. Якщо , то вектори і — однаково спрямовані, якщо , то вектори і — протилежно спрямовані.

Наведемо кілька більш загальних означень.

Розглянемо вектори

(2)

і числа

. (3)

Вектор називається лінійною комбінацією векторів (2). Числа (3) називаються коефіцієнтамилінійної комбінації.

Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі дійсні , які одночасно не всі дорівнюють нулю, що . (4)

Вектори називаються лінійно незалежними, якщо рівність (4) справджується лише за умови .

Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують одночасно ненульові , , такі, що .

ТЕОРЕМА. Якщо вектори лінійно залежні, то хоча б один з них можна подати у вигляді лінійної комбінації решти і навпаки.

Доведення цієї теореми, яке, до речі, досить просте, опустимо.

Вправи для самостійного розв’язування

 За даними векторами і побудувати вектор:

а) ;

б) .

 Точка О є центром ваги трикутника . Довести, що

.

 Довести, що з медіан трикутника можна побудувати трикутник.

 Побудувати вектор і знайти , якщо

.

Відповідь. .

 У паралелограма позначено: . Записати через і вектори й , де — точка перетину діагоналей паралелограма.

Відповідь. , , , .

 — правильний шестикутник. причому . Записати через і вектори та .

Відповідь. , , , , , , .

 У трапеції відношення довжин основи до довжини основи дорівнює . Покладаючи записати через та вектори й .

Відповідь. , , , .

 Дано тетраедр . Записати через вектори і вектори:

а) , де і — середини ребер та ;

б) вектор , де — точка перетину медіан основи .

Відповідь. , .

3. Проекція вектора на вісь і на вектор

Розглянемо вісь та вектор .Проекцією вектора на вісь називається відстань між проекціями і відповідно точок й на вісь що береться із знаком +, якщо і не збігаються і напрям від до однаковий з напрямом , і зі знаком –, якщо й не збігаються і напрям від до протилежний до напряму (рис. 14). Проекція вектора на вісь позначається .

Властивості проекції вектора на вісь

1. , якщо — ненульовий вектор, що утворює гострий кут з віссю ;

, якщо — ненульовий вектор, що утворює тупий кут з віссю ;

, якщо — нульовий вектор, або — ненульовий перпендикулярний до осі вектор. (Випливає з рис. 15, 16, 17).

2. не змінюється при переносі .

3. З не випливає .

4. Якщо , то (рис. 18).

5. , де — числа, що зображені на осі проекціями точок та на дану вісь (рис. 19).

 Позначимо через відстань між проекціями.

Для випадку а): .

Для випадку б): .

Для випадку в) і г):

.

Що і треба було довести. 

6. .

 Як видно з рис. 20

.

.Що і треба було довести. 

Дана властивість узагальнюється на довільну скінчену кількість векторів: проекція суми будь-якої скінченої кількості векторів на вісь дорівнює сумі проекцій цих векторів на цю ж вісь.

7. .

 Для випадків і ця властивість очевидна.

Для випадку , :

.

Для випадку , (рис. 21):



Розглянемо тепер ненульовий вектор і вектор . Проекцією вектора на вектор називається проекція вектора на вісь, що спрямована по .

Зауваження. Вісь вводиться тому, що вектор може виявитись “недостатньо довгим”, щоб на нього можна було б спроектувати початок та кінець вектора .

Властивості проекції вектора на вектор аналогічні властивостям проекцій вектора на вісь.

4. Базис на площині.

Розклад вектора по базису на площині

Базисом на площині називається будь-яка упорядкована пара ненульових неколінеарних векторів даної площини (рис. 22).

Розглянемо базис , і вектор . Розкладом вектора по даному базису називається представлення його у вигляді лінійної комбінації векторів і . Коефіцієнти лінійної комбінації називаються координатами вектора в базисі та .

ТЕОРЕМА.Вектор можна розкласти по базису , , причому такий розклад єдиний (рис. 23).

Розкладемо вектор по і

. (5)

Вектори і зобразимо наступним чином

, . (6)

Тоді — розклад вектора по базису та .

ПРИКЛАД 1. На площині дано базис й , де , , . Розкладемо по базису , вектор з , який утворює кути 30⁰ з векторами та (рис. 24):

;

, ,

, ,

, ,

, .

Таким чином,

.

Кілька властивостей розкладу вектора

по базису на площині

Нехай і :

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Якщо , причому — колінеарний з вектор, то .

 Вектор можна записати у вигляді

. 

7. Якщо , то і — колінеарні вектори.



— колінеарні вектори. 

Часто розклади векторів по базисах розглядають на площинах, на яких введено декартову систему координат, де в якості базисів вибираються орти координатних осей.

Кілька властивостей розкладу вектора по базису

на площині Oxy з базисом i, j

Нехай на площині Oxy, в якому введено базис , маємо (рис. 25).

1. .

2. Для точки , .

3. Для точок та :

.

4. .

5. Якщо — одиничний вектор, то .

ПРИКЛАД 2. На площині введено базис , . При якому значенні вектори і колінеарні?

Вектори та колінеарні, якщо , тобто .

Вправи для самостійного розв’язування

Розглянемо на площині трикутник АВС , довжина сторони якого дорівнює і введено базис , , де . Нехай D — точка на ВС, що знаходиться на відстані від В. Розкласти по даному базису вектор .

Відповідь. .

 На площині введено базис , . Нехай , , . Довести, що ABCD — трапеція.

 Розглянемо на площині трикутник ABC і введемо базис , , де . Нехай D, E, F — відповідно середини сторін AB, DC, AC. Розкласти по даному базису вектори .

Відповідь. .

 Розкласти по базису вектор з початком і кінцем .

Відповідь. .

 Знайти кінець вектора , якщо його початок є точка .

Відповідь. .

 . Знайти проекції на координатній осі наступних векторів: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Відповідь.а) ; б) {-3; 4}; в) {-3; 21}; г) ; д) ; е) .

 Перевірити колінеарність векторів і . Встановити, який з них довший від іншого і в скільки разів, а також як вони спрямовані — в одну чи в протилежні сторони?

Відповідь.Вектор довший вектора в 3 рази, вони спрямовані в протилежні сторони.

 Для вектора , , , . Знайти проекції , вектора відповідно на вісь і .

Відповідь. , .

 Знайти орт вектора: а) ; б) .

Відповідь.а) ; б) .

 , . Розкласти вектор по базису , .

Відповідь. .

 , , . Розкласти: а) по базису ; б) по базису ; в) по базису .

Відповідь.а) ; б) ; в) .

5. Базис у просторі. Геометричні задачі

Базисом у просторі називається впорядкована трійка ненульових некомпланарних векторів.

Розглянемо базис , , і вектор . Розкладом вектора по даному базису називається представлення його у вигляді лінійної комбінації векторів , , . Коефіцієнти лінійної комбінації називаються координатами вектора в базисі , , :

.

ТЕОРЕМА.Вектор можна розкласти по базису , , , причому такий розклад єдиний.

Доведення проводиться як в теоремі про розклад вектора по базису на площині. Властивості розкладу вектора по базису в просторі аналогічні властивостям розкладу вектора на площині.

Домовимося, що простір Oxyz , в якому введено базис , складений з ортів відповідно осей Ox, Oy, Oz будемо називати простором Oxyz з базисом .

Якщо ненульовий вектор, то величини

, , називаються його напрямними косинусами (рис. 26). Так як

, то

і аналогічно

, .

Звідси, застосовуючи рівність

, доводимо основну властивість напрямних косинусів:

.

Очевидно, що напрямні косинуси вектора визначають його напрям і нічого не говорять про його модуль.

ПРИКЛАД 1. У просторі Oxyz з базисом маємо дві точки і .

Тоді ,

.

Отже , , .

Розглянемо деякі геометричні задачі.

Паралельне перенесення осей координат. Нехай спочатку точка М мала координати , а після паралельного перенесення осей — координати . Точці М відповідають радіуси-вектори і