Полиномиальная функция

Пусть – многочлен над полем K. Если то элемент – тоже принадлежит полю K. Таким образом, многочлен f определяет отображение K в K, которое каждому элементу из K ставит в соответствие элемент из K. Это отображение называется полиномиальной функцией Алгебраические операции над многочленами f согласуются с операциями над функциями:

Если то с называется нулем полиномиальной функции или корнем уравнения

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена f на многочлен равен

Доказательство: По теореме о делении с остатком

Так как то Const. Эту константу можно вычислить, подставив в тождество любое значение переменной х, например, Тогда

■

Деление на и вычисление можно производить по схеме Горнера. В равенстве:

раскроем скобки и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях х. Получим Перепишем эти равенства в виде таблицы:

					...
с					...

Пример. Вычислить , если

Решение:

Ответ: 38.

Пример. Разложить многочлен по степеням

Решение:

Ответ:

Теорема. Для того, чтобы элемент с поля K был нулем полиномиальной функции необходимо и достаточно, чтобы многочлен делился на нацело.

Доказательство: По теореме Безу f(х) делится на тогда и только тогда, когда ■