Неприводимые многочлены

Многочлен называется простым или неприводимым в поле K, если он не имеет других делителей, кроме самого себя и ненулевых постоянных.

Подчеркнем, что понятие неприводимости многочлена существенным образом зависит от поля коэффициентов K. Например, многочлен неприводим в Q, но не в R, ибо он делится на и на а многочлен неприводим в R, но не в С, ибо он делится на и на Если многочлен неприводим в поле K, то он неприводим и в любом его подполе.

Примерами неприводимых многочленов в любом поле K являются многочлены степени 1, поскольку всякий его делитель либо постоянен, либо он сам.

Теорема. Любой многочлен либо делится на неприводимый многочлен, либо взаимно прост с ним.

Доказательство: НОД равен или р, или постоянной, отличной от 0, так как должен быть делителем неприводимого многочлена p. В первом случае f делится на p, во втором – взаимно прост с p. ■

Многочлен называется нормализованным, если его старший коэффициент равен 1. В следующей теореме будем считать все неприводимые многочлены записанными в нормализованном виде.

Основная теорема арифметики кольца многочленов. Любой многочлен можно представить в виде произведения неприводимых многочленов, и притом единственным образом с точностью до порядка следования сомножителей.

Доказательство теоремы существования проведем индукцией по степени многочлена. База индукции. Как уже говорилось, многочлены первой степени неприводимы. Будем считать, что неприводимый многочлен уже представлен в виде произведения неприводимых сомножителей (из одного сомножителя).

Предположим, что утверждение теоремы верно для многочленов степени меньше Возьмем многочлен степени п. Если он неприводим, то для него утверждение теоремы верно. Если приводим, то его можно представить в виде произведения двух многочленов, степени которых меньше п, т.е. каждый из них по гипотезе индукции можно представить в виде произведения неприводимых многочленов, а следовательно, и сам исходный многочлен допускает представление в виде такого произведения.

Теорема единственности доказывается методом от противного. Пусть некоторый многочлен допускает два представления:

т.е. Предположим, что Тогда по теореме Евклида делится на Если то делится на и т.д. Продолжение этой цепочки предположений приведет к противоречию: b делится на Это противоречие означает, что существует что т.е. Изменим порядок расположения сомножителей так, что Отсюда Аналогичные рассуждения приведут нас к тому, что

Два представления совпали. Теорема доказана. ■

Собрав одинаковые сомножители в степени, получим каноническое представление многочлена: