Деление по убывающим степеням

В этом разделе будем рассматривать многочлены над полем K, т.е. из кольца

Если где f, g и h из то так же, как и для чисел, говорим, что f делится на g (и применяем обозначение ) или, что g делит f (обозначение ), а также, что многочлен f кратен многочлену g. Нулевой многочлен 0 кратен любому многочлену.

Свойства делимости многочленов почти дословно повторяют свойства целых чисел с некоторыми особенностями:

Теорема (о делении с остатком). Для любых двух многочленов f и g из существует и притом единственная пара многочленов из для которых

или

Доказательство: Запишем многочлены в виде, в котором индексы коэффициентов убывают:

Если то Пусть

Рассмотрим многочлен Его степень равна степени п многочлена поэтому степень многочлена

ниже степени многочлена Здесь мы воспользовались тем, что K - поле, и в нем элемент существует. Повторяя аналогичную операцию с многочленом получаем последовательность .

... ... ... ... ...

Если среди этих соотношений встретится случай то Неравенство включает и случай r = 0 в силу соглашения

Сложив все написанные равенства, получим

Откуда и следует, что найдутся многочлены q и r, для которых

Доказательство теоремы единственности проведем методом от противного. Предположим, что существует вторая пара многочленов q₁ и r₁, для которых

Тогда или а значит

Но и, следовательно, т.е. а, стало быть, также

Теорема доказана. ■

В равенстве многочлен r называется остатком от деления f на g, многочлен q называется неполным частным, а если r = 0, то частным от деления f на g.

Доказательство теоремы существования дает алгоритм деления "уголком" по убывающим степеням.

Пример.

Решение:

Здесь т.е.

Эти же рассуждения приводят и к алгоритму деления "уголком" по возрастающим степеням.

Пример.

Получили Деление по возрастающим степеням приводит к результату, совершенно отличному от деления тех же многочленов по убывающим степеням.