Многочлены от одного переменного

Модуль 2. Многочлены. Матрицы. Определители

Глава 2.1. Многочлены

Многочлены от одного переменного

Пусть А – ассоциативное коммутативное кольцо с 1 без делителей нуля. Рассмотрим множество всех последовательностей элементов из кольца А, в которых только конечное число элементов отлично от 0 (здесь 0 – нейтральный элемент относительно сложения кольца А). Таким образом, последовательность имеет вид:

и называется многочленом от одной переменной над кольцом А. Начиная с некоторого номера, все элементы последовательности равны нулю. Наибольший индекс п, при котором называется степенью многочлена f и обозначается (от английского слова degree - степень). Элементы называются коэффициентами многочлена. Коэффициент называется свободным членом. Коэффициент называется старшим коэффициентом. Нулевой многочлен 0 = (0, 0, 0,...) не имеет степени. Иногда уславливаются присваивать ему степень причем считается, что для любого целого числа п имеет место неравенство

Возьмем два многочлена:

Отношение равенства. Считаем, что f = g, если n = m и т.е. если у них степени равны и все соответствующие коэффициенты равны.

Сложение. Полагаем, что т.е. для того, чтобы сложить два многочлена, надо сложить их соответствующие коэффициенты.

Очевидно, что введенная операция ассоциативна и коммутативна, и многочлен с нулевыми коэффициентами 0 = (0, 0,...) является нейтральным элементом относительно сложения многочленов. Для каждого многочлена f найдется противоположный:

Следовательно, многочлены образуют аддитивную абелеву группу.

Умножение.

т.е. произведением многочленов f и g называется многочлен коэффициенты которого вычисляются по формуле Полагаем, как обычно, что

Теорема. Множество всех многочленов образует относительно введенных отношения равенства, сложения и умножения ассоциативное коммутативное кольцо с 1 без делителей нуля.

Доказательство заключается в непосредственной проверке всех аксиом кольца. Заметим, что в качестве нейтрального элемента относительно умножения выступает многочлен 1 = (1, 0, 0,...).

Покажем, что кольцо не имеет делителей нуля. Пусть и – два многочлена из Предположим теперь, что т.е. в f найдется хотя бы один коэффициент, отличный от нуля. Допустим, что s – наименьший индекс коэффициента, отличного от нуля, т.е.

Если fg = 0, то . Так как а кольцо А без делителей нуля, то И далее последовательно выводим, что и, стало быть, g = 0, а это и означает, что – кольцо без делителей нуля, т.е. если то или ■

Следствие. Если fh = gh и то f = g.

Доказательство: Равенство fh = gh перепишем в виде Так как то Таким образом, в кольце возможно деление обеих частей равенства на их общий множитель.

Условимся отождествлять последовательность (а, 0, 0,...) с элементом а из А, т.е. Это допустимо, так как действия над последовательностями вполне согласуются с действиями над элементами кольца А:

Таким образом, мы получили расширение кольца А:

Заметим, что

т.е. умножить элемент из А на многочлен – это значит умножить каждый коэффициент многочлена на этот элемент.

Рассмотрим многочлен х = (0, 1, 0, 0,...). Для него

Если то

и мы получили привычную форму записи многочлена по возрастающим степеням х, кстати, объясняющую обозначение для кольца многочленов над кольцом А. Перепишем уже известные формулы для двух многочленов:

в новом виде:

Степени многочленов, очевидно, обладают свойствами:

если