Метод билинейного преобразования

Билинейное преобразование представляет собой конформное отображение точек р – плоскости в точки на z – плоскости и использует замены вида:

Где Т – период частоты дискретизации, на которой работает цифровой фильтр.

Билинейное преобразование обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции Н(р) аналогового фильтра – прототипа в передаточную функцию Н( z) цифрового фильтра:

Н(z)=Н(р)

Рассмотрим это преобразование.

Каждой точке комплексной р – плоскости (р = σ +јw) ставится в соответствие определенная точка z – плоскости (z = ехр(σ+јw)Т).

Мнимая ось р – плоскости (р = јw) для (-∞< w < ∞) отображается в единичную окружность в z – плоскости (z = exp(јwT)). Левая половина р – плоскости отображается в часть z – плоскости внутри единичного круга (|z| < 1).

Очень важными являются два обстоятельства.

Во - первых, поскольку все полюсы устойчивого аналогового фильтра расположены в левой половине р – плоскости, то при преобразовании аналогового фильтра к цифровому получается также устойчивый фильтр.

Во - вторых, так как мнимая ось р – плоскости отображается на единичную окружность z – плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ |H(јw)| аналогового фильтра сохраняется и в АЧХ |H(e^јwt)| цифрового фильтра.

Сохраняется также неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот.

Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в соответствующие цифровые фильтры.

Соотношение между «аналоговыми» частотами Ω и «цифровыми» частотами w определяется уравнением

где w_n = w/w_D – нормированная относительно частоты дискретизации «цифровая» частота.

Перечислим последовательность этапов расчета ЦФ методом билинейного преобразования.

1. Перевести требуемые характеристики и нормы ЦФ в соответствующие требования к АФ, применяя формулу:

где w – реальная частота, т.е. частота проектируемого ЦФ,

Ω – расчетная частота, т.е. частота вспомогательного АФ.

2. Рассчитать передаточную функцию Н(р) аналогового фильтра-прототипа, применяя методы расчета аналоговых фильтров.

3. Определить передаточную функцию ЦФНЧ (Н(Z)) по известной Н(р).

4. Построить схему ЦФ по Н(Z).

5. Выполнить необходимые расчеты по учету эффектов конечной разрядности.

В данном проекте будем использовать аппроксимацию характеристик фильтров полиномами Баттерворта и Чебышева.

В данной работе рассчитываем фильтр Крауэра.