Докажем сначала, что 
будет решением уравнения (6.1). Для этого подставим в уравнение (6.1): 
f(x). Это равенство является тождеством, т.к. 
и 
f(x). Следовательно, есть решение уравнения (6.1).
Докажем теперь, что это решение является общим, т.е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида: 
, 
(6.3). Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (лоду) общее решение уравнения (6.2) можно представить в виде 
, где 
и 
– линейно независимые решения этого уравнения. Таким образом:
и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде:
или
(6.4)
Произвольные постоянные 
и 
определяются из этой системы линейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях, т.к. определитель этой системы 
= 
есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений уравнения (6.2) при 
, а такой определитель, как мы видели выше, отличен от нуля. Определив постоянные и из системы уравнений (6.4) и подставив их в выражение , мы получим частное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.
Докажем еще одну простую теорему, которая часто используется при решении лнду.
Теорема 2. Если 
- решение дифференциального уравнения 
f1(x), а 
- решение уравнения f2(x), то функция 
будет решением уравнения
f1(x) + f2(x). (6.5)
