Дифференциальные уравнения 2-го порядка

§1. Методы понижения порядка уравнения.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

. (1.1)

Общим решением уравнения является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и : (или – общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при : , . Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием , совпадают на пересечении интервалов определения.

Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удается далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удается понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.

1. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной .

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: , т.е. в уравнении (1.1) явно не присутствует независимая переменная . Это позволяет принять за новый аргумент, а производную 1-го порядка принять за новую функцию . Тогда .

Таким образом, уравнение 2-го порядка для функции , не содержащее явно , свелось к уравнению 1-го порядка для функции . Интегрируя это уравнение, получаем общий интеграл или , а это есть дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции . Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: .

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях: , .

Решение.

Так как в исходном уравнении в явном виде отсутствует аргумент , то примем за новую независимую переменную, а – за . Тогда и уравнение приобретает следующий вид для функции : .

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: . Откуда следует , т.е. .

Так как при и , то подставляя начальные условия в последнее равенство, получаем, что и , что равносильно . В результате для функции имеем уравнение с разделяющимися переменными, решая которое, получаем . Используя начальные условия, получаем, что . Следовательно, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий начальным условиям, имеет вид: .

2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции .

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: , т.е. в уравнение явно не входит искомая функция . В этом случае вводят постановку . Тогда и уравнение 2-го порядка для функции переходит в уравнение 1-го порядка для функции . Проинтегрировав его, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции : . Решая последнее уравнение, получаем общий интеграл заданного дифференциального уравнения , зависящий от двух произвольных постоянных: .

Пример 2. Найти общее решение уравнения:

Решение.

В данное уравнение 2-го порядка явно не входит искомая функция , следовательно, делаем замену: и . В результате чего получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции : или , являющееся линейным уравнением. Решая его, получаем: или . Итак, для функции получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: , откуда следует общее решение исходного уравнения: .

3. Порядок степени понижается, если удается преобразовать его к такому виду, что обе части уравнения становятся полными производными по от каких-нибудь функций. Например, пусть дано уравнение . Деля обе части на , получаем ; ; ; – порядок уравнения понижен.

§2. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид:

, (2.1)

где , , и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a₀(x) ≠ 0, поделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде:

(2.2)

Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям , , если на рассматриваемом промежутке функции , и непрерывны. Если , то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае.

Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение , где – произвольные числа.

Теорема. Если и – решение лоду

, (2.3)

то их линейная комбинация также будет решением этого уравнения.