Схема применения метода.

а) Находим область определения и нули этой функции .

б) На числовой прямой отмечаем область определения функции .

в) На области определения отмечаем нули функции . (Нули функции разбивают область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет знак).

в) Находим знаки функции в полученных промежутках.

г) Записываем ответ.

Замечание. Для определения знака функции на конкретном промежутке можно найти знак в любой (удобной) точке , принадлежащей этому промежутку.

Пример 1. Используя метод интервалов, решить неравенство .

Решение. Рассмотрим функцию .

а) Функция определена для .

б) при .

Функция может быть представлена в виде (Это удобно для определения интервалов знакопостоянства функции, но делать это необязательно).

в) На числовой оси отмечаем область определения и нули этой функции. Очевидно, при и график функции стремится к бесконечности. (Прямые и являются асимптотами этой функции.)

г) Определяем знаки функции на интервалах знакопостоянства. (Можно, например, вычислить значения функции в точках , , , и . В данном случае удобно исследовать знак отдельных сомножителей числителя и знаменателя функции на интервалах знакопостоянства.)

Рис. 1

д) Записываем ответ.

Ответ: .

Пример 2. Пользуясь результатами примера 1, построить график функции .

Решение. а) Функция определена для .

б) при .

в). Прямые и являются асимптотами этой функции.

Очевидно, при график функции стремится к бесконечности.

г) Знаки функции

Рис. 2. График функции

ЗАДАЧИ

1. Разложить многочлены на множители:

а)

б)

в)

г)

2. Найти действительные корни уравнения:

а)

б)

в)

3. Выделить полный квадрат из квадратного трехчлена:

а)

б)

в)

4. Найти координаты вершины параболы , выделяя полный квадрат из квадратного трехчлена

5. Выполнить действия

а)

б)

в)

6. Сократить дробь

7. Представить рациональную дробь в виде суммы цепой части и правильной дроби:

а) б)

8. Решить неравенства:

а) б)

в) г)

д) е)

9. Исследовать знаки следующих функций:

а)

б)

в)

10. Используя метод интервалов, решить следующие неравенства:

а)

б)

в) г)

д) е)

ж) з)

3.1. Найти при каких значениях равенство выполняется при любых допустимых значениях . (Два способа.)

3.2. Убедиться, что многочлен делится на и представить этот многочлен в виде произведения и квадратичного множителя. (Два способа.)

3.3. Разложить на множители .

3.4. Используя метод интервалов, решить следующие неравенства:

а)

б)

в) г) ;

д)

3.5. Пусть .

Найти область допустимых значений аргумента этой функции.

При каких значениях график функции лежит ниже оси ?

3.6.*** Составить неравенство, решением которого является множество

3.7. Решить неравенство

3.8. Решить неравенства:

а) ; б) ;

в) .

4.4. На рис. 1 представлены знаки дробно-рациональной функции (числитель и знаменатель наименьшей степени).

Рис. 1

Записать общий вид этой формулы.

4.5. Найти множество нулей ,
область положительности ,
область отрицательности функции .
Построить схематический график функции .

а) б)

в) г)

д)

е)

4.6. На рис. 2 и рис. 3 указаны соответственно интервалы знакопостоянства и интервалы монотонности дробно-рациональной функции .

Рис. 2

Рис. 3

Построить график этой функции, если известно, что , , и при значение функции стремится к 1.