К решению задач анализа

Требования к методам и ал­горитмам анализа. При выборе или разработке метода (алгоритма) анализа прежде всего устанавливается область его применения.

Чем шире круг задач и ММ, ко­торые объявлены как допустимые для решения данным методом, тем этот метод универсальнее.

В большинстве случаев четкая и однозначная форму­лировка ограничений на применение метода затрудни­тельна. Возможны ситуации, когда оговоренные заранее условия применения метода выполняются, однако удов­летворительное решение задачи не получается. Следова­тельно, вероятность Р успешного применения метода в оговоренном заранее классе задач меньше единицы. Эта вероятность является количественной оценкой важного свойства методов и алгоритмов, называемого надеж­ностью.

Отказы в решении задач могут проявляться в несходимости итерационного процесса, в превышении погреш­ностями предельно допустимых значений и т. п. Причи­нами отказов могут быть такие факторы, как плохая обусловленность ММ, ограниченная область сходимости, ограниченная устойчивость. Так, итерации по методу Ньютона при решении систем нелинейных, алгебраиче­ских уравнений сходятся только в случае выбора началь­ного приближения в достаточно малой окрестности корня.

В САПР должны применяться надежные методы и алгоритмы. Для повышения надежности часто применя­ют комбинирование различных методов, автоматическую параметрическую настройку методов и т. п. В конечном счете добиваются значений Р, равных пли близких к единице. Применение методов с Р < 1 хотя и нежелатель­но, но допускается в отдельных частных случаях при обязательном условии, что некорректное решение рас­познается и отсутствует опасность принять такое реше­ние за правильное.

К методам и алгоритмам анализа, как и к ММ, предъявляют требования точности и экономичности. Точность характеризуется степенью совпадения точного решения уравнений заданной модели и приближенного решения, полученного с помощью оцениваемого метода, а экономичность — затратами вычислительных ресурсов на реализацию метода (алгоритма).

Оценки точности и экономичности могут быть теоре­тическими и экспериментальными.

Теоретические оценки погрешностей, трудоемкости требуемых вычислений и объемов участвующих в пере­работке массивов обычно выполняются при принятии

ряда упрощающих предположений о характере использу­емых ММ. Примерами могут служить предположения о гладкости или линейности функциональных зависимос­тей, некоррелированности параметров и т. п. Несмотря на приближенность теоретических оценок, они представ­ляют значительную ценность, так как обычно характери­зуют эффективность применения исследуемого метода не к одной конкретной модели, а к некоторому классу мо­делей. Например, именно теоретические исследования позволяют установить, как зависят затраты машинного времени от размерности и обусловленности ММ при при­менении методов численного интегрирования систем ОДУ.

Однако теоретические оценки удобны, для опреде­ления характера таких зависимостей, но числовые зна­чения показателей эффективности для конкретных слу­чаев могут быть весьма приближенными.

Поэтому находят применение также эксперименталь­ные оценки, основанные на определении показателей эф­фективности на наборе специально составляемых ММ, называемых тестовыми. Тестовые ММ должны отражать характерные особенности моделей того класса объектов, которые являются типичными для рассматриваемой предметной области. Результаты тестирования использу­ются для сравнительной оценки методов и алгоритмов при их выборе для реализации в программном обеспечении САПР.

Математическая постановка типовых задач анализа. Рассмотрим математическую формулировку типовых проектных процедур анализа, перечисленных на рис. 1.2.

Анализ динамических процессов функци­онирования объектов выполняется путем решения систем ОДУ. В общем случае эта система представляется в не­явном виде (2.4) F (dU/dt, U, W, t) = 0 с известными на­чальными условиями; здесь V= (U, W)—вектор фазо­вых переменных. Для решения системы могут приме­няться как неявные методы, выражаемые формулами типа (2.9), так и явные методы численного интегрирова­ния, для которых связь Z_k-1 = (dU/dt) _k-1 с U _k дается формулами типа Z_k-1= η_k U_k + μ_k, где η_k зависит от ве­личины шага h_k а μ_k — от величины шага h_k и значений вектора U, вычисленных на одном или нескольких пре­дыдущих шагах интегрирования. Решение системы ОДУ позволяет получить зависимость вектора фазовых пере­менных V от t в табличной форме.

Большинство выходных параметров Y проектируемых объектов являются функционалами зависимостей V(t), например, определенными интегралами, экстремальными значениями, моментами пересечения заданных уровней фазовых переменных. Решение системы (2.4) и расчет выходных параметров-функционалов составляют содер­жание процедуры анализа переходных процессов.

Анализ статических состояний объек­тов также может быть выполнен путем интегрирования уравнений (2.4), но, поскольку в статике dU/dt = 0, та­кой анализ может быть сведен к решению систем алге­браических уравнений

F(V) = 0. (2.10)

Для решения (2.10) применяют различные итераци­онные методы.

В ряде областей техники часть выходных параметров объектов определяется на основе анализа частот­ных характеристик. При таком анализе, какл1ра-вило, допустима линеаризация ММ, т. е. система (24) может быть представлена в виде

AdU/dt+BU +CW + DU_BX(t) = 0, (2.11)

где А, В, С, D — матрицы с постоянными или зависимыми/ от времени коэффициентами; UBX(0 —заданная вектор-функция, отражающая внешние воздействия на анализи­руемый объект.

Задаваясь синусоидальным внешним воздействием на один из входов объекта и используя для алгебраизации системы (2.11) преобразование Фурье, приходим к сис­теме линейных алгебраических уравнений с комплексны­ми коэффициентами

(2.12)

где U и W — преобразованные по Фурье векторы U и W.

Решение системы (2.12) обычно производится мето­дом Гаусса для ряда значений частоты со. Полученные зависимости С (со) представляют собой частотные харак­теристики объекта, по которым определяются такие вы­ходные параметры, как резонансные частоты, полоса пропускания и т. п.

При проектировании систем автоматического управ­ления важное значение имеет задача анализа устойчиво­сти. Анализ устойчивости может быть выполнен или непосредственным интегрированием системы ОДУ, или ее исследованием в соответствии с известными кри­териями устойчивости.

Анализ чувствительности заключается в определении влияния внутренних и внешних параметров x_i на выходные параметры у_i где i = l, 2,...,n; j =1, 2,..., m. Количественная оценка этого влияния представляется матрицей чувствительности А с элементами a_ji = дy_j / дx_i, называемыми коэффициентами чувствительности (влия­ния). Сравнительная оценка влияния различных пара­метров более удобна с помощью относительных коэффи­циентов чувствительности влияния b_ji = a_ji X_{i H0M}/y_{i Н0M}, где Х_{i НОМ} и где y_{i Н0M} — номинальные значения параметров х_i и y_i соответственно.

Следует отметить, что j-я строка А_j матрицы чувстви­тельности А есть градиент функции y_j (Х), т. е. А_j = grad y_j(Х) = (дy_j/дх₁, д y_j/дх₂, ..., d_yj/dx_n).

Наиболее универсальный метод анализа чувствитель­ности— метод приращений — основан на численном диф­ференцировании функций y_j (Х).

Статистический анализ выполняется с целью получения тех или иных сведений о распределении па­раметров y_j при задании статистических сведений о па­раметрах X_i. Результаты статистического анализа могут быть представлены в виде гистограмм распределения y_j оценок числовых характеристик распределений (матема­тического ожидания, дисперсии, квантилей и интерквартильных широт). Основной метод статистического ана­лиза в САПР—метод статистических испытаний (метод Монте — Карло).

Выбор численных методов для решения задач анализа. Как видно из рис. 2.2, большинство задач анализа в САПР сводится к решению систем уравнений алгебраи­ческих и обыкновенных дифференциальных.

Для решения систем нелинейных алгеб­раических уравнений применяют итерационные методы. Главными показателями эффективности этих ме­тодов являются вероятность и скорость сходимости ите­раций к корню системы.

Наибольшей скоростью сходимости среди применяе­мых в САПР методов обладает метод Ньютона, основанный на линеаризации исходной системы уравнений и вычислении нового приближения к корню путем решения линеаризованной системы. Однако метод Ньютона име­ет ограниченную область сходимости — итерации сходятся, если начальное приближение было выбрано в доста­точно

малой окрестности корня. Но заранее не известны ни положение корня, ни размеры области сходимости.

Поэтому в САПР находят применение также итера­ционные методы, для которых имеются сравнительно про­стые способы обеспечения сходимости. Недостаток этих методов — меньшая скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. Основны­ми представителями этих методов являются релаксаци­онные методы.

Среди других методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений в САПР находят применение: метод установления, заключающийся в сведении задачи (2.10) к системе ОДУ, решаемой методами численного' интегрирования; метод продолжения решения по пара­метру, заключающийся в многократном решении задачи (2.10), например методом Ньютона при управлении по­ложением области сходимости с помощью некоторого параметра; методы оптимизации, заключающиеся в ми­нимизации нормы вектора навязок ||F(V)||, так как оче­видно, что в точке корня эта норма минимальна и равна нулю.

Основным методом решения нелинейных алгебраиче­ских уравнений в САПР следует считать метод Ньюто­на, используемый в рамках метода установления или ме­тода продолжения решения по параметру.

Для решения систем л и н е й н ы х алгебраиче­ских уравнений (ЛАУ) в различных процедурах автоматизированного проектирования в основном ис­пользуется метод Гаусса, заключающийся в последова­тельном исключении неизвестных исходной системы. В задачах автоматизированного проектирования, харак­теризующихся большой размерностью, метод Гаусса следует применять при учете свойства разреженности матриц коэффициентов, иначе затраты машинных вре­мени и памяти могут оказаться чрезмерно большими. В первую очередь это относится к системам уравнений, получаемым в результате дискретизации и алгебраизации дифференциальных уравнений в частных производ­ных, поскольку порядок р системы алгебраических урав­нений здесь может достигать значений 10³ и выше. Так, при р = 10³ полная матрица коэффициентов состоит из 10⁶ элементов. Однако разреженность матриц в таких системах, оцениваемая количеством нулевых элементов, отнесенным к общему числу элементов, близка к единице. Благодаря этому учет разреженности

позволяет ре­шать системы ЛАУ порядка 10³. ..10⁴ с приемлемыми за­тратами вычислительных ресурсов.

Численное интегрирование систем ОДУ возможно как явными, так и неявными методами. Боль­шинство методов интегрирования является ограниченно устойчивыми. Это означает, что на величину шага интег­рирования накладываются ограничения, несоблюдение которых ведет к резкому искажению числовых результа­тов, колебанию числового решения вокруг истинного с нарастающей амплитудой, что обычно приводит к пере­полнению разрядной сетки ЭВМ и прекращению вычис­лений.

Явные методы наиболее легко реализуются, приводят к сравнительно небольшому объему вычислений на од­ном шаге интегрирования. Однако для соблюдения усло­вий устойчивости приходится уменьшать шаг настолько, что увеличившееся число шагов может сделать недопус­тимо большими общие затраты машинного времени. По­этому явные методы, к которым относятся известные ме­тоды Адамса — Башфорта и явные варианты метода Рунге — Кутта, оказываются малонадежными и в САПР находят ограниченное применение.

Основными методами численного интегрирования сис­тем ОДУ в САПР стали неявные методы. Среди них имеются методы, обеспечивающие устойчивость вычисле­ний при любом шаге h > 0. Это неявные методы первого и второго порядков точности. В САПР рекомендуется применять неявные методы второго порядка точности или методы с автоматически меняющимся порядком, так как именно эти методы обеспечивают наилучшее компромис­сное удовлетворение противоречивых требований к точ­ности и быстроте вычислений.

Особенности постановки и решения задач анализа на метауровне. На метауровне используется укрупненное математическое описание исследуемых объектов.

Одним из наиболее общих подходов к анализу объ­ектов на метауровне является функциональное моделирование, развитое для анализа систем ав­томатического управления. В рамках этого подхода при­нимается ряд упрощающих предположений. Во-первых, па метауровне, как и на макроуровне, объект представ­ляется в виде совокупности элементов, связанных друг c другом ограниченным числом связей. При этом для каждого элемента связи разделяются на входы и выходы. Во-вторых, элементы считаются однонаправленными, т. е.

такими, в которых входные сигналы могут переда­ваться к выходам, но сигналы на выходах не могут вли­ять на состояние входов через внутренние связи элемен­та. Сигналами при этом называют изменения фазовых переменных. В-третьих, состояния любого выхода не за­висят от нагрузки, т. е. от количества и вида элементов, подключенных к этому выходу. В-четвертых, состояние любой связи характеризуется не двумя, а одной фазо­вой переменной (типа потенциала или типа потока), что непосредственно вытекает из предыдущего допущения.

Принятие подобных допущений приводит к упроще­нию математических моделей элементов и методов полу­чения математических моделей систем.

Математическая модель системы при функциональном моделировании представляет собой систему ОДУ, полу­чаемую непосредственным объединением математических моделей элементов. Такое объединение выражается в отождествлении фазовых переменных у соединяемых вхо­дов и выходов. Численные методы решения ОДУ приме­нительно к моделям мета- и макроуровня аналогичны.

Функциональное моделирование широко использует­ся для моделирования и анализа аналоговой радиоэлект­ронной аппаратуры; систем автоматического управления и регулирования с элементами не только электрической, но и иной природы; энергетических систем, функциони­рование которых связано с передачей между частями систем энергии, количества движения, давления и т. п.

Другим достаточно общим подходом к анализу объ­ектов на метауровне является их представление моде­лями систем массового обслуживания (СМО). Модели СМО применимы во всех тех случаях, когда исследуемый объект предназначен для обслужива­ния многих заявок, поступающих в СМО в нерегуляр­ные моменты времени. Особенностью моделей СМО яв­ляется наличие в них элементов двух различных типов: обслуживающих аппаратов, иначе называемых ресурса­ми, и заявок, называемых также транзактами.

Примеры технических систем, представимых моделями СМО.

К техническим системам, представимым моделями СМО относят: цехи и производственные участки, в которых обслуживающими аппаратами являются рабочие места и единицы оборудования, а заявками — отдельные детали, партии деталей, порции про­дукта и т.п.;

автоматизированные системы управления; вычислительные сети и системы, в том числе структуры технического обеспечения САПР

(здесь в качестве обслуживающих аппаратов могут выступать отдельные ЭВМ и их устройства, а в качестве заявок — решаемые задачи).

Модели СМО должны описывать процессы прохож­дения заявок через СМО. Состояние системы в каждый момент времени выражается совокупностью переменных (аналогов фазовых переменных), имеющих преимущест­венно дискретный характер. Так, состояние обслуживаю­щего аппарата описывается переменной v, которая мо­жет принимать одно из двух возможных значений — «сво­боден», «занят», а также длинами очередей на входах обслуживающего аппарата. Очередей может быть не­сколько, если в СМО фигурируют заявки нескольких раз­личных типов (приоритетов). Состояние каждой заявки описывается переменной, значениями которой могут быть «обслуживание», «ожидание». Результатом анализа СМО должны быть значения выходных параметров (типичны­ми выходными параметрами являются производитель­ность СМО, среднее и максимальное времена обслужива­ния заявок, средние длины очередей и коэффициенты загрузки обслуживающих аппаратов, вероятности обслу­живания заявок за время не выше заданного и т. п.). Исходные данные при моделировании выражаются па­раметрами обслуживающих аппаратов и параметрами ис­точников заявок. Обычно модели обслуживающих аппа­ратов и источников заявок представляют собой законы распределения таких величин, как время обслуживания заявки, интервал времени между появлениями заявок поэтому внутренними и внешними параметрами, значе­ния которых указываются в исходных данных, являются параметры этих законов распределения. Получение ис­ходных данных и обеспечение их достоверности — важ­ная проблема анализа объектов на метауровне.

Математические модели СМО могут быть аналитиче­скими и имитационными.

Аналитическая модель СМО представляет собой совокупность явных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. Однако получение аналитических моделей оказывается возможным лишь в отдельных частных случаях сравнительно простых СМО. И общем случае используются имитационные модели, не­смотря на значительные затраты вычислительных ресур­сов, связанные с их реализацией.

Имитационная модель СМО представляет собой алгоритм, описывающий изменения переменных состояния

на моделируемом отрезке времени. Предполагается, что» изменение состояния любой переменной, называемое со­бытием, происходит мгновенно в некоторый момент вре­мени. Имитационное моделирование СМО — воспроизве­дение последовательности событий в системе при вероят­ностном характере параметров системы. Имитация функ­ционирования системы при совершении большого числа событий позволяет произвести статистическую обработку накопленных результатов и оценить значения выходных параметров, примеры которых указаны выше.

Алгоритм имитационного моделирования СМО мож­но кратко описать следующим образом. Опрашиваются входные источники заявок, в результате определяются моменты появления заявок на входах СМО. Сведения об этих событиях заносятся в список событий, который упорядочен по моментам наступления событий. Далее процесс имитации управляется списком событий. Из это­го списка выбирается ближайшее по времени совершения событие и имитируется продвижение в СМО заявки, свя­занной с этим событием. Продвижение имитируется до тех пор, пока заявка не окажется задержанной в неко­тором обслуживающем аппарате. Если при этом заявка входит в состояние «обслуживание», то по математиче­ской модели обслуживающего аппарата определяется длительность обслуживания и, следовательно, становит­ся предвидимым момент наступления очередного собы­тия, связанного с этой заявкой. Сведения об этом буду­щем событии заносятся в список событий. Далее анало­гичным образом выбирается ближайшее событие из спис­ка событий и производится имитация поведения заявки, связанной с этим событием, и т. д. В процессе прохож­дения заявок по СМО накапливаются данные, необходи­мые для последующего расчета выходных параметров,

С помощью имитационного моделирования инженер, проектирующий систему, может подобрать удовлетворя­ющий его вариант, изменяя дисциплины обслуживания заявок, варьируя параметры обслуживающих аппаратов, их количество, способы соединения в систему.