Математические модели

Математическое обеспечение автоматизированного проектирования (АП) включает в себя математические модели объектов проектирования, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур.

Требования к математическим моделям. Математи­ческие модели (ММ) служат для описания свойств объ­ектов в процедурах АП. Если проектная процедура вклю­чает создание ММ и оперирование ею с целью получения полезной информации об объекте, то говорят, что про­цедура выполняется на основе математического модели­рования.

К математическим моделям предъявляются требова­ния универсальности, адекватности, точности и эконо­мичности.

Степень универсальности ММ характеризу­ет полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь неко­торые свойства объекта. Так, большинство ММ, исполь­зуемых при функциональном проектировании, предназ­начено для отображения протекающих в объекте физи­ческих или информационных процессов, при этом не тре­буется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма составляющих его элементов. Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электриче­ский ток, но не отражает габариты резистора, как дета­ли, его цвет, механическую прочность, стоимость и т. п. Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров Y= (y₁, у₂…,y_m). Тогда, обозначив

истинное и рассчитанное с помощью ММ зна­чения j-го выходного параметра через y_{j ист} и y_{j м} соот­ветственно, определим относительную погрешность ε_j расчета параметра y_j как

ε_j = (y_{j м} — y_{j ист}) / y_{j ист} (2.1)

Получена векторная оценка ε = (ε₁, ε₂, …, ε_m). При необходимости сведения этой оценки к скалярной ис­пользуют какую-либо норму вектора ε, например

ε _м = || ε || = max ε_j (2.2)

jЄ [1: m]

Адекватность ММ — способность отображать за­данные свойства объекта с погрешностью не выше за­данной. Поскольку выходные параметры являются функ­циями векторов параметров внешних Q и внутренних Х, погрешность ε_j - зависит от значений Q и X. Обычно зна­чения внутренних параметров ММ определяют из усло­вия минимизации погрешности ем в некоторой точке Q_ном пространства внешних переменных, а используют модель с рассчитанным вектором X при различных значениях Q, При этом, как правило, адекватность модели имеет мес­то лишь в ограниченной области изменения внешних пе­ременных— области адекватности (ОА) математической модели:

ОА = {Q | ε м ≤ δ},

где δ > 0 — заданная константа, равная предельно допус­тимой погрешности модели.

Экономичность ММ характеризуется затратам» вычислительных ресурсов (затратами машинных време­ни Тм и памяти Пм) на ее реализацию. Чем меньше Тм и Пм, тем мо­дель экономичнее. Вмес­то значений Тм и Пм, за­висящих не только oт свойств модели, но и от особенностей применяе­мой ЭВМ, часто использу­ют другие величины, на­пример: среднее количест­во операций, выполняе­мых при одном обраще­нии к модели, размерность системы

уравнений, количество используемых в модели внутренних параметров и т. п.

Требования высоких точности, степени универсально­сти, широкой области адекватности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой стороны, противоречивы. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих проти­воречивых требований зависит от особенностей решае­мых задач, иерархического уровня и аспекта проектиро­вания. Это обстоятельство обусловливает применение в САПР широкого спектра математических моделей.

Классификация математических моделей. Основные признаки классификации и типы ММ, применяемые в САПР, даны в табл. 2.1.

Таблица 2.1

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональ­ные.

Структурные ММ предназначены для отобра­жения структурных свойств объекта. Различают струк­турные ММ топологические и геометрические.

В топологических ММ отображаются состав и взаи­мосвязи элементов объекта. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям (например, задачи компоновки оборудования, размеще­ния деталей, трассировки соединений) или к относитель­ным моментам времени (например, при разработке рас­писаний, технологических процессов). Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т. п.

В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; алгебрологических соотношений, описывающих области со­ставляющие тело объекта; графами и списками, отобра­жающими конструкции из типовых конструктивных эле­ментов, и т. п.

Геометрические ММ применяют при реше­нии задач конструирования в машиностроении, приборо­строении, радиоэлектронике, для оформления конструк­торской документации, при задании исходных данных на разработку технологических процессов изготовления де­талей. Используют несколько типов геометрических ММ1

В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сравнительно несложными поверхно­стями применяют ММ, представляемые в аналитической или алгебрологической форме (аналитические, алгебрологические). Аналитические ММ — уравнения поверхностей и линий, например уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz+d=0, а эллипсоида — вид (х/а)²+(у/b)² + (z/c)² + d=0, где х, у, z— пространственные координа­ты, а, Ь, с, d — коэффициенты уравнений. В алгебрологических ММ тела описываются системами логических вы­ражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел.

Для сложных поверхностей аналитические и алгебрологические модели оказываются слишком громоздкими, их трудно получать и неудобно использовать. Область их применения обычно ограничивается поверхностями плоскими и второго порядка.

В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сложными поверхностями применя­ют ММ каркасные и кинематические.

Каркасные ММ представляют собой каркасы — ко­нечные множества элементов, например точек или кри­вых, принадлежащих моделируемой поверхности; В част­ности, выбор каркаса в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности, приводит к разбиению по­верхности на отдельные участки. Кусочно-линейная аппроксимация на этой сетке устраняет главный недоста­ток аналитических моделей, так как в пределах каждого из участков, имеющих малые размеры, возможна удов­летворительная по точности аппроксимация поверхностями с простыми уравнениями.

Коэффициенты этих уравне­ний рассчитываются исходя из условий плавности сопря­жений участков.

В кинематических ММ поверхность представляется в параметрическом виде R (u, v), где R = (x, у, z), а u и v — параметры. Такую поверхность можно получить как результат перемещения в трехмерном пространстве кри­вой R(u), называемой образующей, по некоторой направ­ляющей линии.

Коэффициенты уравнений во всех рассмотренных мо­делях, как правило, не имеют простого геометрического: смысла, что затрудняет работу с ними в интерактивном режиме. Этот недостаток устраняется в канонических моделях и в геометрических макромоделях.

Канонические модели используют в тех случаях, ког­да удается выделить параметры, однозначно определяю­щие геометрический объект и в то же время имеющие простую связь с его формой. Например, для плоского многоугольника такими параметрами являются коорди­наты вершин, для цилиндра — направляющие косинусы и координаты некоторой точки оси, а также радиус ци­линдра.

Геометрические макромодели являются описаниями предварительно отобранных типовых геометрических фрагментов. Такими фрагментами могут быть типовые сборочные единицы, а их макромоделями — условные номера, габаритные и стыковочные размеры. При оформ­лении конструкторской документации макромодели ис­пользуют для описания типовых графических изображе­ний, например зубчатых колес, винтовых соединений, подшипников и т. п.

Функциональные ММ предназначены для ото­бражения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представля­ют собой системы уравнений, связывающих фазовые пе­ременные, внутренние, внешние и выходные параметры. Деление описаний объектов на аспекты и иерархиче­ские уровни непосредственно касается математических моделей. Выделение аспектов описания приводит к вы­делению моделей электрических, механических, гидрав­лических, оптических, химических и т. п., причем модели процессов функционирования изделий и модели процес­сов их изготовления различные, например модели полу­проводниковых элементов интегральных схем, описывающих процессы диффузии и

дрейфа подвижных носителей заряда в полупроводниковых областях при функциониро­вании прибора и процессы диффузии примесей в полу­проводник при изготовлении прибора.

Использование принципов блочно-иерархического. подхода к проектированию приводит к появлению иерар­хии математических моделей проектируемых объектов. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако для большинства предметных областей можно отнести име­ющиеся иерархические уровни к одному из трех обоб­щенных уровней, называемых далее микро-, макро- и метауровнями.

В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ, отно­сящиеся к микро-, макро- и метауровням.

Особенностью ММ на м и к р о у р о в н е является от­ражение физических процессов, протекающих в непре­рывных пространстве и времени. Типичные ММ на мик­роуровне — дифференциальные уравнения в частных про­изводных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С по­мощью этих уравнений рассчитываются поля механиче­ских напряжений и деформаций, электрических потен­циалов, давлений, температур и т.п. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процес­сы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровне используют укрупненную дис­кретизацию пространства по функциональному призна­ку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравне­ний (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие со­стояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравличе­ских и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов.

Модели для ус­тановившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраиче­ских уравнений. Порядок системы уравнений зави­сит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы прибли­жается к 103, то опериро­вание моделью становится затруднительным и поэто­му необходимо перехо­дить к представлениям на метауровне.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов исполь­зуемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для эле­ментов фазовые переменные, а фигурируют только фазо­вые переменные, относящиеся к взаимным связям эле­ментов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существен­но более сложных объектов, чем на макроуровне.

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых -возможно применять дискретное представление таких фазовых пе­ременных, как напряжения и токи. В результате ММ становится системой логических уравнений, описываю­щих процессы преобразования сигналов. Такие логиче­ские модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени. Важный класс ММ на метауровне составляют модели массового обслуживания, применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов.

Структурные модели также делятся на модели раз­личных иерархических уровней. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших

иерархических уровнях, используются топологические модели.

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная ММ — модель, в которой фигурируют фа­зовые переменные, характеризующие состояния всех име­ющихся межэлементных связей (т. е. состояния всех элементов проектируемого объекта).

Макромодель — ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укруп­ненном выделении элементов.

■ Примечание. Понятия «полная ММ» и «макромодель» относительны и обычно используются для различения двух моде лей, отображающих различную степень детальности описания свойств объекта.

По способу представления свойств обе к т а функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические.

Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров, т. е. имеют вид (1.1). Такие ММ характеризуются высокой экономичностью, однако получение формы (1.1) удается лишь в отдельных част­ных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужа­ющих область адекватности модели.

Алгоритмические ММ выражают связи выход­ных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.

Типичной алгоритмической ММ является система уравнений (1.2), дополненная алгорит­мом выбранного численного метода решения и алгорит­мом вычисления вектора выходных параметров как функционалов решения системы уравнений V(z).

Имитационная ММ — алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во време­ни при задании внешних воздействий на объект. Приме­рами имитационных ММ могут служить модели динами­ческих объектов в виде систем ОДУ и модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

Для получения ММ используют методы неформаль­ные и формальные.

Неформальные методы применяют на раз­личных иерархических уровнях для получения ММ эле­ментов. Эти методы включают изучение закономерностей процессов и явлений, связанных с моделируемым объек­том, выделение существенных факторов, принятие раз­личного рода допущений и их обоснование, математиче­скую интерпретацию имеющихся сведений и т.п. Для выполнения этих операций в общем случае отсутствуют формальные методы, в то же время от результата этих операций существенно зависят показатели эффективно­сти ММ — степень универсальности, точность, экономич­ность. Поэтому построение ММ элементов, как правило, осуществляется квалифицированными специалистами, получившими подготовку, как в соответствующей пред­метной области, так и в вопросах математического моде­лирования на ЭВМ.

Применение неформальных методов возможно для синтеза ММ теоретических и эмпирических. Теоретичес­кие ММ создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений; эмпирические ММ — в ре­зультате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерений фазовых переменных на внеш­них входах и выходах и обработки результатов измере­ний.

Решение задач моделирования элементов облегчается благодаря тому, что для построения большинства техни­ческих объектов используются типовые элементы (коли­чество типов сравнительно невелико). Поэтому разра­ботка ММ элементов производится сравнительно редко. Единожды созданные ММ элементов в дальнейшем многократно применяют при разработке разнообразных

систем из этих элементов. Примерами таких ММ на мик­роуровне служат описания конечных элементов для анализа напряженно-деформированного состояния деталей, множество типов конечных элементов включает стержни, плоские элементы в форме треугольников и четырехугольников, трехмерные элементы типа параллелепипеда, тетраэдра и т.п.; примерами ММ геометрических элементов могут служить уравнения линий прямых, дуг окружностей, плоскостей и поверхностей второго поряд­ка; примерами ММ элементов на макроуровне являются ММ элементов интегральных схем — транзисторов, дио­дов, резисторов, конденсаторов.

Формальные методы применяют для получения ММ систем при известных математических моделях эле­ментов.

Таким образом, в программах автоматизированного анализа, используемых в САПР, получение ММ проекти­руемых объектов обеспечивается реализацией ММ эле­ментов и методов формирования ММ систем.

Методика получения математических моделей эле­ментов. В общем случае процедура получения математи­ческих моделей элементов включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отраже­нию в модели. Этот выбор основан на анализе возмож­ных применений модели и определяет степень универ­сальности ММ.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть опыт и знания инженера, разрабатывающего модель, научно-техни­ческая литература, прежде всего справочная, описания прототипов — имеющихся ММ для элементов, близких по своим свойствам к исследуемому, результаты экспе­риментального измерения параметров и т. п.

3. Синтез структуры ММ. Структура ММ — общий вид математических соотношений модели без конкрети­зации числовых значений фигурирующих в них парамет­ров. Структура модели может быть представлена также в графической форме, например в виде эквивалентной схемы или графа. Синтез структуры — наиболее ответст­венная и с наибольшим трудом поддающаяся формали­зации операция.

4. Расчет числовых значений параметров ММ. Эта за­дача ставится как задача минимизации погрешности мо дели заданной структуры, т. е.

44
min ε_m (X) (2.3)

Х ЄХД

хде X — вектор параметров модели; ХД — область варь­ирования параметров; ε_m определяется в соответствии с (2.1) и (2.2), где у_{j м} — функция от X, a у_{j ист} определя­ются по результатам экспериментов либо физических, либо численных с использованием более точных ММ, если таковые имеются в иерархическом ряду ММ.

5. Оценка точности и адекватности ММ. Для оценки точности должны использоваться значения у_{j ист}, кото­рые не фигурировали при решении задачи (2.3).

Большую ценность для пользователя представляют не оценки погрешности ε_m, выполненные в одной-двух случайных точках пространства внешних переменных, а сведения об области адекватности (ОА). Однако опре­деление ОА требует больших затрат машинного времени. Поэтому расчет ОА выполняется только при тщательной отработке ММ унифицированных элементов, предназна­ченных для многократного применения.

Так как расчет и представление сведений об ОА в многомерном пространстве затруднительны, то используют аппроксимации области адекватности, обозначаемые ОАА. Для человека наиболее удобны ОАА в виде вписанного в область адекватности гиперпараллелепипе­да со сторонами, параллельными координатным осям.

Графическая иллюстрация ОА и ОАА для двумерного пространства внешних переменных Q= (q₁, q₂) пред­ставлена на рис. 2.1, где ОА
ограничена линиями j=1, j = 2 и j= 3, задаваемыми уравнениями |ε_j (Q)| = δ, j =1, 2, 3. ОАА выделена на рисунке штриховкой. Сведе­ния об ОАА представляются в виде диапазонов изменения внешних переменных, в которых модель адекватна (с точностью δ):

q'₁ ≤ q₁ ≤ q''₁; q'₂ ≤ q₂ ≤ q"₂.

Другой возможной фор­мой ОАА является область, получаемая из области аде­кватности с помощью лине-

аризации ее границ. Такая форма неудобна для вос­приятия человеком, но предпочтительна при автомати­ческом контроле адекватности модели в процессе вы­числений на ЭВМ.

При получении ММ операции 2—5 методики могут выполняться многократно в процессе последовательных приближений к желаемому результату.

Преобразования математических моделей в процессе получения рабочих программ анализа. Выше были опре­делены классы функциональных ММ на различных иерархических уровнях как системы уравнений опреде­ленного типа. Реализация таких моделей на ЭВМ под­разумевает выбор численного метода решения уравнений и преобразование уравнений в соответствии с особенностями выбранного метода. Конечная цель преобразо­ваний — получение рабочей программы анализа в виде последовательности элементарных действий (арифмети­ческих и логических операций), реализуемых командами ЭВМ. Все указанные преобразования исходной ММ в последовательность элементарных действий ЭВМ выпол­няет автоматически по специальным программам, созда­ваемым инженером-разработчиком САПР. Инженер-пользователь САПР должен лишь указать, какие программы из имеющихся он хочет использовать. Про­цесс преобразований ММ, относящихся к различным иерархическим уровням, иллюстрирует рис. 2.2.

Инженер-пользователь задает исходную информацию об анализируемом объекте и о проектных процедурах/, подлежащих выполнению, на удобном для него проблемно-ориентированном

Рис. 2.2.

входном языке программного комплекса. Ветви 1 на рис. 2.2 соответствует постановка задачи, относящейся к микроуровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерыв­ных переменных конечным множеством их значений в за­данных для исследования пространственном и времен­ном интервалах; алгебраизация — в замене производ­ных алгебраическими соотношениями.

Применяют различные способы дискретизации и ал­гебраизации переменных при решении ДУЧП. Эти спо­собы составляют сущность методов числового решения; большинство используемых методов относится либо к методам конечных разностей, либо к методам конечных элементов. Если ДУЧП стационарное (т. е. описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраиза­ция преобразует ДУЧП в систему алгебраических урав­нений, в общем случае нелинейных (ветвь 2 на рис. 2.2). Если ДУЧП нестационарное (т. е. описывает изменяю­щиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из двух этапов: 1) устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат — система ОДУ; 2) устранение производных по времени (ветвь 4).

Для числового решения ОДУ при заданных началь­ных условиях (задача Коши) разработано большое количество численных методов, причем многие из эффек­тивных методов получили развитие под влиянием потреб­ностей автоматизированного проектирования. Специфика алгебраизации производных по времени и обусловливает целесообразность выделения для ветви 4 специальных средств математического и программного обеспечения, отличных от таких же средств для ветвей 2 и 3.

Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности элементарных операций может быть либо непосредственным (ветвь 5), например, на ос­нове методов простых итераций или релаксации, либо через посредство предварительной линеаризации урав­нений (ветвь 6), что составляет сущность метода Ньюто­на. Решение системы линейных алгебраических уравне­ний в этом случае (ветвь 7) выполняется с помощью пря­мых методов, например метода Гаусса.

Ветви 8 на рис. 2.2 соответствует преобразование

исходного описания задачи, относящегося к макроуров­ню, в систему ОДУ с известными начальными условия­ми. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразен непосредственный переход к сис­теме линейных алгебраических уравнений (ветвь 9).

Для анализа объектов на метауровне применяют либо переход к системе ОДУ (ветвь 10), либо переход к системам логических уравнений, моделям массового об­служивания или аналитическим моделям, отображаю­щим упрощенно технико-экономические показатели объ­екта (ветвь 11). Сведение этих форм моделей в последо­вательность элементарных вычислительных операций (ветвь 12) не вызывает затруднений.

Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом обеспечении САПР численным мето­дам решения систем ОДУ, нелинейных и линейных алге­браических уравнений. Из рис. 2.2 также видно, что та­кие системы уравнений приходится решать при проекти­ровании объектов на микро- и макроуровнях, а часто к на метауровне. От эффективности этих методов сущест­венно зависит общая эффективность выполнения проект­ных процедур функционального проектирования.

Примечание. Подробное рассмотрение численных методов решения систем уравнений, используемых в САПР, выполнено в книге 5 настоящей серии.

Формализация получения математических моделей систем (ММС). Выше указывалось, что процедуры полу­чения математических моделей систем (ММС) в САПР,. как правило, формализованы.

Рассмотрим подходы к формализованному получению ИМС на примере преобразований, соответствующих вет­вям 8 и 4 на рис. 2.2.

Описание объекта на входном языке программного комплекса анализа, обслуживающего макроуровень, представляет собой последовательность строк, каждая из которых характеризует очередной элемент объекта. В строке обычно записывается следующая информация:

1. Обозначение вида элемента. Примерами видов эле­ментов и их обозначений могут служить в гидравличе­ских системах: гидроцилиндр GC, гидроклапан GK, ис­точник давления ЕР, источник расхода 1Q, сильфон SF, гидросопротивление турбулентное TGPR и ламинарное

LGPR, гидроемкость GPC; в интегральных схемах: би­полярный транзистор TN, диод D, резистор R, емкость С, источник тока I, источник напряжения Е.

2. Идентификатор математической модели элемента, указывающий, какую из имеющихся моделей нужно при­менить. Иногда идентификатор ММ отождествляют с обозначением вида элемента, тогда для одного и того же вида элемента могут использоваться несколько различ­ных обозначений.

3.Номер элемента, позволяющий отличить данный элемент от других элементов того же вида в составе объ­екта.

4. Способ соединения данного элемента с другими эле­ментами объекта, обычно выражаемый номерами узлов, к которым подключаются внешние связи элемента. Узлы и связи появляются потому, что на макроуровне объект представляется в виде конечного числа элементов, свя­занных с другими элементами конечным числом связей. Перед описанием объекта на входном языке удобно со­ставить описание в виде эквивалентной схемы или графа, где ветви (ребра) соответствуют элементам, а узлы (вершины) — связям элемента. Узлы нумеруются. При описании элемента на входном языке указываются номе­ра узлов, соответствующие соединениям элемента.

5. Числовые значения параметров элемента. Если элемент является унифицированным и характеризуется большим количеством параметров, то числовые значения параметров вводятся в память ЭВМ заранее и хранятся там в виде некоторого массива. Тогда допускается при описании элемента вместо перечисления значений пара­ метров указывать идентификатор массива параметров.
Этот идентификатор обычно совпадает с наименованием типа элемента. Например, на входном языке комплекса ПА-6 строка, описывающая упругий стержень в механи­ческой системе, имеет вид

UPK □ У1 □ У2 □ Х 1; Х2; ХЗ,

где UP — идентификатор стержня, совпадающий с иден­тификатором математической модели; К — его номер: У1 и У2 — номера узлов, с которыми связан стержень; XI, X2 и ХЗ — значения параметров, ими являются длина, площадь поперечного сечения и модуль продольной упру­гости.

Указание идентификатора ММ для каждого элемента соответствует заданию уравнений ММ элементов — компонентных

уравнений. Компонентные уравнения можно записать в виде

F1(dU/dt, V, t) = 0, (2.4)

где V = (U, W) — вектор фазовых переменных; U — под-вектор фазовых переменных, непосредственно характери­зующих запасы энергии в элементах объекта; t— время.

Каждое из компонентных уравнений связывает разно­типные фазовые переменные, относящиеся к очередному элементу. Отметим, что фазовые переменные могут быть либо переменными типа потенциала (электрические на­пряжения, температуры, давления, скорости), либо пе­ременными типа потока (это электрические токи, тепло­вые потоки, расходы, силы).

Указание способа связи элементов друг с другом соответствует заданию топологических уравнений, пред­ставляющих собой соотношения между однотипными фа­зовыми переменными, относящимися к разным элемен­там:

F2(V) = 0. (2.5)

Топологические уравнения выражают условия равно­весия сил, законы сохранения, условия неразрывности и т. п. Их примером могут служить ( уравнения законов Кирхгофа.

Дискретизация и алгебраизация модели при числовом решении (2.4) и (2.5) основаны на замене переменных t и V конечным множеством значений t_k принадлежащих заданному отрезку интегрирования, и множеством значе­ний вектора фазовых переменных V t_k = V (t_k). Если обо­значить через Z_k значение вектора производных dU/dt в точке t_k, то система алгебродифференциальных уравне­ний (2.4) и (2.5) оказывается представленной в виде сис­темы алгебраических уравнений

F₁(z_k , U_k, W_k, t_k) = 0; (2.6)

F₂(U_k, W_k) = 0. (2.7)

Если состояние каждого элемента объекта характери­зуется одной переменной типа потенциала и одной пере­менной типа потока, а количество элементов в объекте равно ос, то подсистема (2.6) состоит из а уравнений с 2a + Y неизвестными, а подсистема (2.7) —из а уравне­ний с теми же неизвестными (здесь у— размерность век­тора U, равная количеству реактивных элементов, т. е.

элементов, в компонентных уравнениях которых имеют­ся производные фазовых переменных по времени). Для решения системы алгебраических уравнений (2.6), (2.7) нужно ее доопределить с помощью у уравнений с уже введенными переменными z_k, U_k. Такое доопределение осуществляется с помощью формул численного интегри­рования:

F3 (z_k, U_k) = 0. (2.8)

В САПР преимущественно используются формулы вида

Z_k = η_k U_k + μ_k, (2.9)

где η_k зависит от порядка метода интегрирования и ве­личины шага дискретизации переменной t (шага интег­рирования); μ_k зависит также от значений подвектора фазовых переменных U на одном или нескольких преды­дущих шагах. Например, простейшая формула численно­го интегрирования имеет вид z_k - (U_k - U_k-1) / h_k, где h_k = t_k - t_k-1 — шаг интегрирования.

Систему алгебраических уравнений (2.6) — (2.8) нуж­но решать для каждого выделенного момента времени t_k. Поскольку известны начальные условия t₀ и U₀, сначала решается система уравнений для момента времени t₁ с неизвестными z₁ и V₁ далее для момента времени t₂ и т. д. На каждом очередном шаге значения U от предыду­щих шагов известны и, следовательно, определены коэф­фициентом η_k и μ_k в формуле (2.9).

Таким образом, исходное описание задачи на входном языке при наличии подпрограмм моделей элементов, подпрограмм численных методов и программ, формирую­щих топологические уравнения, означает задание ММС виде исходной системы алгебраических уравнений (2.6) — (2.8). Дальнейшие преобразования этой модели обычно направлены на снижение порядка системы урав­нений и приведение ее к виду, принятому в выбранном численном методе решения алгебраических уравнений. Для этих целей используются методы формирования ММС, подробно рассматриваемые в книге 4 настоящей серии.