Свойства смешанного произведения

1.

2.

3. , где

4. при тогда и только тогда, когда – компланарные векторы;

5. векторы образуют базис в трехмерном пространстве при условии

6. если то векторы образуют правую тройку; если – левую.

В случае, когда векторы заданы в ортонормиро­ванном базисе координатами и их смешанное произведение может быть найдено по формуле

(14.11)

Пример 1. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и Вычислить их смешанное произведение.

Решение. По определению . Вектор образует с и правую тройку, причем Значит, Кроме того, Тогда

Пример 2. Для векторов и найти объем параллелепипеда, построенного на векторах приведенных к общему началу, и определить ориентацию этой тройки векторов.

Решение.Используем формулу (4.11) для вычисления смешанного произведения в координатной форме:

Поскольку получили отрицательное значение, то тройка векторов является левой, а объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения, т. е.

Пример 3. Доказать, что точки A(1, 2, –1), B(0, 1, 5), C(–1, 2, 1) и D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.

Решение. Рассмотрим три вектора:

Вычисляем их смешанное произведение:

Поскольку оно равно нулю, то это значит, что векторы – компланарны. Они лежат в одной плоскости, так как имеют общее начало. Таким образом, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Пример 4. Вычислить объем тетраэдра OABC, если

Решение. Используем формулу

где – объем параллелепипеда, построенного на векторах Объем параллелепипеда вычисляется через смешанное произведение

Поскольку

то

Пример 5. Вершины треугольника расположены в точках A(1, 1, 1), B(2, 3, 2) и C(4, 2, 5). Найти расстояние от точки D(5, 3, 6) до плоскости

Решение. Убедимся, что точка D не лежит в одной плоскости с точками A, B и C, для чего найдем смешанное произведение векторов . Если оно будет не нулевым, то тем самым будет доказано, что векторы не являются компланарными, а значит, точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Так как то смешанное произведение равно

Значит,

Поскольку расстояние h от точки D до плоскости численно равно высоте параллелепипеда, опущенной из вершины D на основание, в котором лежит то из формулы находим

Найдем Поскольку

то

Таким образом, т. е. искомое расстояние равно

Пример 6. Доказать, что векторы компланарны, если .

Решение. Умножим скалярно данное равенство на вектор

Так как то или векторы компланарны.

Доказанное можно обобщить на случай, когда задано равенство где – числа, среди которых, по крайней мере, есть одно ненулевое.