Свойства векторного произведения

1.

2.

3.

4. при тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Если векторы и заданы в ортонормированном базисе и и то

Последнюю формулу удобно записать в виде формального определителя третьего порядка

Пример 1. Пусть Найти:

1) 2) 3)

Решение.1) По определению векторного произведения векторов и его длина

2) Используя алгебраические свойства векторного произведения, имеем:

Значит,

3) Используя свойства векторного произведения и условие задачи, получим:

Пример 2. Упростить выражение:

1)

2)

Решение.Воспользуемся равенствами

Тогда имеем:

1)

2)

Пример 3. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и где

Решение. Используем известную из планиметрии формулу площади параллелограмма и геометрический смысл векторного произведения:

где

Тогда по свойствам векторного произведения получим:

Пример 4. Вычислить площадь треугольника ABC и его высоту, опущенную из вершины A к стороне BC, если A(1, 1, 1), B(4, 2, –1), C(2, 3, 0).

Решение. Используем тот факт, что где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Так как найдем сначала

Вычисляем векторное произведение в координатной форме:

Тогда

Значит,

Для нахождения высоты h треугольника ABC воспользуемся формулой Тогда здесь

Значит

Пример 5. Даны три силы: приложенные к точке A(–1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки O(2, 3, –1).

Решение. Пусть сила – равнодействующая сил Тогда Значит момент этой силы равен

Вычисляем Для нахождения направляющих косинусов используем формулы (14.9):