Свойства проекции вектора на ось

1.

2.

3.

4.

Скалярное произведение двух векторов в пространстве определяется аналогично случаю на плоскости:

Формула скалярного квадрата:

Справедлива формула, связывающая скалярное произведение векторов и проекции этих векторов:

(14.1)

Пример 1. Дана треугольная призма (рис. 14.3). Разложить вектор по векторам и

Решение. По правилу треугольника имеем:

Складывая левые и правые части этих векторных равенств, получаем:

Так как и то и, следовательно,

Рис. 14.3

Пример 2. При соблюдении каких условий ненулевые векторы и удовлетворяют условию ?

Решение. Так как неравенство связывает неотрицательные числовые величины, возведем в квадрат, что не изменит его смысла:

Перейдя к скалярному квадрату и воспользовавшись алгебраическими свойствами скалярного произведения, получим:

откуда

Получаем:

т. е.

Очевидно, последнее условие выполняется при т. е. при

Таким образом, векторы или сонаправлены или образуют острый угол.

Пример 3. Вычислить и если а векторы и образуют с осью l соответственно углы в 120° и 45°.

Решение. Согласно свойствам проекции, имеем:

Тогда получаем:

Пример 4. Найти проекцию вектора на направление вектора если

Решение. Используем свойства проекции:

Пример 5. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и если

Решение. Пусть и . Тогда и представля­ют длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и

Пример 6. Найти угол между векторами и если

Решение. Обозначим угол между векторами φ, тогда

Тогда