Критерии оптимальности

Процедуры параметрического синтеза в САПР либо выполняются человеком в процессе многовариантного анализа (в интерактивном режиме), либо реализуются на базе формальных методов оптимизации (в автоматическом режиме). В последнем случае находят применение несколько постановок задач оптимизации [4, 5].

Наиболее распространенной является детерминированная постановка: заданы условия работоспособности на выходные параметры Y, и нужно найти номинальные значения проектных параметров X, к которым относятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. Назовем эту задачу оптимизации базовой. В частном случае, когда требования к выходным параметрам заданы нечетко, к числу рассчитываемых величин могут быть отнесены также нормы выходных параметров, фигурирующие в их условиях работоспособности [4, 5].

Если проектируются изделия для дальнейшего серийного производства, то значение приобретает такой показатель, как процент выпуска годных изделий в процессе производства. Очевидно, что успешное выполнение условий работоспособности в номинальном режиме не гарантирует их выполнения при учете производственных погрешностей, задаваемых допусками параметров элементов. Поэтому целью оптимизации становится максимизация процента выхода годных, а к результатам решения задачи оптимизации относятся не только номинальные значения проектных параметров, но и их допуски [4, 5].

Базовая задача оптимизации ставится как задача математического программирования

еxtr _ХÎDxF(X), (3.1)

где F(X) - целевая функция; X - вектор управляемых (проектных) параметров; Dх- допустимая область в пространстве управляемых параметров с функциями-ограничениями. Запись (3.1) интерпретируется как задача поиска экстремума целевой функции путем варьирования управляемых параметров в пределах допустимой области.

Таким образом, для выполнения расчета номинальных значений параметров необходимо, во-первых, сформулировать задачу в виде (3.1), во-вторых, решить задачу поиска экстремума F(X).

Сложность постановки оптимизационных проектных задач обусловлена наличием у проектируемых объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче (3.1) целевая функция должна быть одна. Другими словами, проектные задачи являются многокритериальными, и возникает проблема сведения многокритериальной задачи к однокритериальной. Применяют несколько способов выбора критерия оптимальности [4, 5].

В частном критерии среди выходных параметров один выбирают в качестве целевой функции, а условия работоспособности остальных выходных параметров относят к ограничениям задачи (3.1). Эта постановка вполне приемлема, если действительно можно выделить один наиболее критичный выходной параметр. Но в большинстве случаев сказывается недостаток частного критерия [4, 5].

Аддитивный критерий объединяет (свертывает) все выходные параметры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую собой взвешенную сумму частных критериев

, (3.2)

где - весовой коэффициент; т - число выходных параметров. Функция (3.2) подлежит минимизации, при этом если условие работоспособности имеет вид > ,то <0.

Недостатки аддитивного критерия субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно, в (3.2) не входят нормы выходных параметров [4, 5].

Аналогичные недостатки присущи и мультипликативному критерию, целевая функция которого имеет вид

(3.3)

Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (3.3), то мультипликативный критерий превращается в аддитивный [4, 5].

Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее неблагополучный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки степени выполнения условия работоспособности j-го выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра S_j и этот запас можно рассматривать как нормированный j-й выходной параметр. Например (здесь и далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспособности становятся неравенствами в форме < ):

, или , (3.4)

где — номинальное значение, а — некоторая характеристика рассеяния j-го выходного параметра, например, допуск. Тогда целевая функция в максиминном критерии есть

, (3.5)

здесь запись [1:т]означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до m. Задача (3.1) при максиминном критерии конкретизируется следующим образом

, (3.6)

где допустимая область определяется только прямыми ограничениями на управляемые параметры х_i.