Операции над множествами.

Множества можно образовывать при помощи операций над другими множествами.

Пусть даны два множества А и В.

А = {a, b, c} B = {b, c, d}

Объединение А È В - это множество всех элементов, принадлежащих А или В.

Пример. А È В = {a, b, c, d}

Пересечение А Ç В - это множество всех элементов, принадлежащих одновременно как А, так и В.

Пример. А Ç В = {b, c}

Разность А \ В - это множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

Пример. А \ В = {а}

Симметрическая разность А Å В - это множество элементов, принадлежащих либо А, либо В, но не обоим вместе.

Пример. А Å В = {a, d}

Наглядно операции над множествами изображаются в виде кругов Эйлера. Пусть множества А и В являются подмножествами некоторого универсума U. Универсум будем представлять множеством точек прямоугольника, а подмножества А и В - множеством точек кругов. Множества, получаемые в результате операций над множествами А и В, будем изображать заштрихованными областями (рис.1.1).

а) А È В б) А Ç В в) А \ В г) А Å В

Рис.1.1. Операции над множествами

Результатом выполнения некоторых из этих операций могут быть пустые множества.

Пример. A = {a, b, c} B = {d, e} A Ç B = Æ

Множества A и B, для которых A Ç B = Æ , назовем непересекающимися. Ниже показаны круги Эйлера для непересекающихся множеств А и В и отношения включения А Ì В (рис.1.2.).

а) A Ç B = Æ б) А Ì В

Рис.1.2. Круги Эйлера для непересекающихся

множеств и отношения включения

Пусть множество А принадлежит универсуму U - A Ì U.

Множество Ā=U\A называется дополнением множества А (рис.1.3.).

Рис.1.3. Дополнение множества

Примеры. Описать заштрихованную область S с помощью теоретико-множественных операций (рис.1.4).

S=(A B) (B C)

S=(A\B\C) ((B C)\A)

Рис.1.4. Примеры теоретико-множественных

операций