Введение

В соответствии с принципами развивающего обучения по системе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова настоящий курс математики ставит сво­ей целью формирование у школьников предпосылок теоретического мышления. Он ориентирован главным образом на формирование науч­ных (математических) понятий, а не только на выработку практических навыков и умений и предполагает организацию обучения в форме раз­вернутой учебной деятельности детей по постановке и решению ими системы учебных задач.

Основной целью курса является формирование у детей ясного понима­ния действительного числа, опирающегося на понятие величины. Поэто­му даже натуральное число, изучением которого ограничивается началь­ная школа, рассматривается как отношение величин.

Натуральное число вводится в первом классе в контексте задачи по­строения величины, равной заданной, в таких условиях, когда невозмож­но непосредственное сравнение величин, но оказывается разумным ис­пользование особого посредника — мерки. Таким образом, у детей форми­руется понятие числа не как характеристики совокупности отдельностей, а как инструмента измерения и счета.

Во втором классе задача воспроизведения величины ставится в новых условиях, когда ни одна из имеющихся мерок не укладывается в величине целое число раз. Это приводит детей к новому способу измерения — отме­риванию величины с помощью системы (набора) мерок. В результате та­кого способа измерения значением величины выступает не одно число, а набор чисел, каждое из которых соответствует одной определенной мер­ке из набора. Для записи таких значений используются таблица и форма, обычно именуемая формой составного именованного числа.

Далее ставится задача воспроизведения величины с помощью заданной мерки в ситуации, когда считать можно только до определенного числа. Учащиеся обнаруживают, что, когда счет мерок доходит до последнего возможного числа, все отложенные мерки образуют новую, более круп­ную мерку и измерение может производиться ею. В этом случае отноше­ние между соседними мерками системы остается постоянным, оно равно основанию системы счисления — последнему возможному при счете числу, а сама система мерок является открытой, т. е. при необходимости мо­жет быть продолжена.

Результат такого способа измерения записывается набором цифр, каж­дая из которых выражает результат измерения одной определенной мер­кой системы. Таким образом, дети знакомятся с многозначным числом, количество разрядов в котором может быть в принципе любым. Вначале многозначное число представляется в табличном виде, а затем осваивает­ся переход к позиционному способу записи, где смысл каждого знака (цифры) определяется его местом в записи.

Десятичная система счисления рассматривается как частный случай си­стемы построения многозначного числа, которая в силу своей общепри­нятое™ получила определенные наименования разрядов. Во втором клас­се дети осваивают названия чисел в пределах четырех знаков и способ поразрядного их сложения и вычитания. Помимо этого, рассматриваются приемы устных вычислений в пределах 100.

Продолжается начатая в первом классе работа над материалом тексто­вых задач. Теперь изучается возможность построения и решения трех ви­дов задач, в основе которых лежит отношение разностного сравнения ве­личин: нахождение значения большей величины, меньшей и разности. При этом элементы разностного отношения анализируются и с точки зрения отношения целого и частей. Затем рассматриваются задачи на комбинацию отношений, т. е. задачи, решаемые двумя-тремя арифметиче­скими действиями. Основным средством анализа задач являются на дан­ном этапе обучения графические схемы — чертежи.

В контексте решения текстовых задач возникает проблема порядка вы­полнения действий, записи нескольких действий одним выражением со скобками или без скобок. Изучение свойств сложения и вычитания позво­ляет учащимся выполнять вычисления несколькими способами.

На основе понятия целого и частей и с опорой на чертежи строятся и решаются простые уравнения, включающие сложение и вычитание.

Завершается второй год обучения введением понятия умножения. Его формирование начинается с постановки и решения задачи воспроизведе­ния величины в ситуации, когда воспроизводимая величина значительно больше имеющейся мерки. В этом случае прямое использование данной мерки крайне затруднительно, и поэтому нужно перейти к более крупной мерке, однако эта новая мерка изначально не дана, ее еще нужно по­строить.

В связи с новым способом измерения — отмериванием возникает необ­ходимость в переходе от значения величины относительно одной мерки к ее значению относительно другой мерки при известном соотношении этих мерок, т. е. к действиям умножения и деления. Моделирование дей­ствий умножения и деления на числовой прямой позволяет рассматри­вать эти действия сами по себе, независимо от задачи измерения кон­кретных величин, и дает способ получения результатов умножения «ма­леньких» чисел.

Как и в первом классе, пособие для учащихся имеет форму учебника-тетради, которая позволяет не только представить логику учебного пред­мета, но и обеспечить выполнение учащимися действий по усвоению этой логики. Значительная часть заданий в учебнике строится таким об­разом, что, выполняя определенные построения, учащиеся сами открыва­ют эту логику, а не получают ее в виде готовых образцов.

Как и ранее, в учебнике много ловушек (отмеченных специальным зна­ком). Это задания на первый взгляд обычные, но на самом деле либо не имеющие решения, либо требующие уточнения. Кроме повышения учеб­ной мотивации, работа с такими заданиями важна для формирования у детей контрольных действий и полноценного представления об услови­ях выполнения того или иного способа действия.

При подготовке к уроку учитель должен обязательно прочитать мето­дические указания к разделам, а не ограничиться лишь просмотром стра­ниц учебника. Текст методического пособия раскрывает содержание каж­дого раздела учебника и описывает способы постановки и решения учеб­ной задачи. В общих чертах обучение организуется следующим образом.

1. Сначала перед учащимися ставится предметная задача, поиск реше­ния которой убеждает детей в том, что прежний способ действия в похожих ситуациях теперь оказывается или невозможным, или слишком трудоемким.

2. В результате выполнения определенного предметного преобразова­ния обнаруживается отношение, лежащее в основе нового класса за­дач и определяющее новый и при этом общий для всего класса спо­соб действия.

3. В процессе фиксации произведенных предметных действий в услов­ной (модельной) форме происходит абстрагирование отношения.

4. Посредством преобразования модели изучаются свойства выделен­ного отношения.

5. На основе выделенных свойств учащиеся выводят систему частнопрактических задач, решаемых общим способом.

Самые первые шаги в постановке учебной задачи чрезвычайно трудно представить в учебнике. Ведь учебник должен содержать (и содержит) го­товые образцы решений, а нужно, чтобы дети сами открывали способы действия. Как это сделать, и описывает методическое пособие.

Учитель должен уметь организовать в классе дискуссию, участвовать в ней, допускать «ошибки» и отстаивать неправильный ход рассуждения, чтобы дети аргументированно опровергли его.

Учителю предоставлена свобода в построении урока и определении объема материала, который будет на уроке пройден. Вместе с тем указано примерное содержание уроков.