Властивості операцій над множинами

Основні поняття теорії множин (поняття порожньої множини, універсуму, способи завдання множин).

Множина – сукупність об’єктів, в якій існуючі зв’язки між об’єктами ігноруються, а замість них об’єднуваним об’єктам приписуються нові, що характеризують належність до множини. Порожньою називається така множина, яка не містить ніяких елементів. Така множина позначається спеціальним символом Ǿ. Сукупність множин, які об’єднуються утворюють основну множину - універсум. Способи задання множин: 1) вербальний(словесний) 2)список, перелік елементів; 3) радикальний – за допомогою радиката, множина задається у вигляді {x/P(x)}

Основні операції над множинами.

Для ілюстрації операцій над множинами використовують кола (діаграми) Ейлера – Вена. Операції над множинами: об’єднання (сума, позначка -U); перетин (добуток,∩ ); різниця;диз’юнктивна сума(ксор).

Властивості операцій над множинами

Комутативні закони

1) A u В = В u А 2) А п В = В п А.

2.Асоціативні закони

1)A u (В u С) = (A u В) u С.

2)Ап(BпС)=(АпВ)пС

Дистрибутивні закони

1)A u (В п С) = (A u В) n (A u C).

2)Ап(В u С) = (А п В) u (A n C).

Властивості Ǿ та U
1. A u Ǿ = А.

2. А u Ā = U ;

3. А u U = U

4. Ǿ = U

5 А ∩ U = А

6. А ∩ Ā = Ǿ

7. А ∩ Ǿ = Ǿ

8. Ū = Ǿ

Закони ідемпотентності

5.1. A u А = А. 5.2. A n A = А.

Закон поглинання:

1: А u (А∩ В) =А

2 А ∩ (А u В) =А

Закони де Моргана

1. (А u В) = Ā∩ В 2.

(А∩ В) = Ā u В

Властивості доповнення, різниці та рівності

1) А u В = U ∩ А∩ В = Ǿ => В = Ā

2) Ā(подвійне заперечення) = А

3) A- B=A∩B

4) A xor B = (A∩B)u(Ā∩B)

5) A xor B = B xor A

6)(A xor B)xor C= A xor(B xor C)

7) A xor Ǿ = Ǿ xor A = A

8) A Ì B ó A ∩ B = A ó A u B =B ó A∩ B = Ǿ

9) A = B ó (A ∩B)u(Ā C B) = Ǿ