Как показано на рисунке 8-3, дискретное преобразование Фурье изменяет N точек входного сигнала в два выходных сигнала из N/2 + 1 точек. Входной сигнал это сигнал, который подвергается разложению, а два выходных сигнала содержат амплитуды синусов и косинусов (способ определения масштаба мы обсудим немного позже). Входной сигнал предназначен находиться во временной области. Это вызвано тем, что большинство типичных сигналов, встречающихся в ЦОС, состоят из отсчетов, полученных через регулярные интервалы времени. Конечно, любой вид отсчетов может быть использован в ЦОС независимо от того, как он получен. Когда вы в анализе Фурье встречаете термин «временная область», это может действительно означать, что отсчеты получены во времени, или это может означать любой дискретный сигнал, подвергающийся разложению. Термин частотная область используется для описания амплитуд синусов и косинусов (включая специальное масштабирование, которое мы обещаем объяснить).
РИСУНОК 8-3
Терминология ДПФ. Во временной области сигнал x[ ] состоит из N точек с номерами от 0 до N-1. В частотной области ДПФ создает два сигнала: реальная часть, ReX[ ], и мнимая часть, ImX[ ]. Каждый из этих сигналов имеет N/2 + 1 точек с номерами от 0 до N/2. Прямое ДПФ преобразует временную область в частотную, инверсное ДПФ преобразует частотную область во временную. (Здесь описывается реальное ДПФ; комплексное ДПФ, описанное в главе 31, изменяет N комплексных точек другой набор N комплексных точек).
Частотная область содержит точно такую же информацию, как и временная область, но в другой форме. Если вам известна одна область, мы можете вычислить другую. Если получен сигнал во временной области, процесс вычисления сигнала в частотной области называется разложение, анализ, прямое ДПФ или просто ДПФ. Если известна частотная область, вычисление сигнала во временной области называется синтезом или инверсным ДПФ. Как синтез, так и анализ могут быть представлены в виде формул и в виде компьютерных алгоритмов.
Число отсчетов во временной области обычно обозначаются переменой N. В то время как N может быть любой положительной величиной, выбирается оно обычно кратным двум, т.е. 128, 256, 512, 1024 и т.д. Имеется две причины для этого. Первая, при хранении цифровых данных используется бинарная адресация, что делает естественную длину сигнала кратной двум. Вторая, большинство эффективных алгоритмов для вычисления ДПФ, как, например, быстрое преобразование Фурье (БПФ), используют величину N кратную двойке. Обычно N выбирают между 32 и 4096. В большинстве случаев отсчеты нумеруют от 0 до N-1, а не от 1 до N.
Стандартные обозначения в ЦОС используют строчные буквы для обозначения сигналов во временной области, такие как x[ ], y[ ], z[ ]. Соответственные заглавные буквыиспользуются для обозначения сигналов в частотной области X[ ], Y[ ], Z[ ]. Для иллюстрации, возьмем N точек сигнала во временной области, который содержится в x[ ]. В частотной области этот сигнал будет называться X[ ] и состоять из двух частей, каждая из которых представляет массив из N/2 + 1 отсчетов. Эти части называются реальная часть X[ ], записывается как Re X[ ], и мнимая часть X[ ], записывается как Im X[ ]. Величины в Re Х[ ] есть амплитуды косинусов, величины в Im Y[ ] есть амплитуды синусов (пока не заботьтесь о масштабе).Так же как во временной области отсчеты идут от x[0] до x[N-1], в частотной области сигналы идут от Re X[0] до Re X[N/2] и от Im X[0] до Im X[N/2]. Изучите внимательно эти обозначения, они важны для понимания выражений в ЦОС. К сожалению, некоторые компьютерные языки не отличают строчные буквы от заглавных, что приводит к разным обозначениям у разных программистов. В программах этой книги используется обозначение XX[ ] для массива сигнала во временной области и REX[ ], IMX[ ] для массивов в частотной области.
Наименования реальная часть и мнимая часть берут начало от комплексного ДПФ, где они используются для обозначения отличия между реальными и мнимыми числами. Ничего такого сложного не требуется для реального ДПФ. Вплоть до главы 31 просто считайте, что «реальная часть» обозначает амплитуду косинусов, а «мнимая часть» - амплитуду синусов. Не позволяйте этим наименованиям сбивать вас с толку, здесь везде используются обычные числа.
Также не смущайтесь термином длина по отношению к сигналу в частотной области. В литературе по ЦОС часто можно увидеть предложение, которое выглядит так: «ДПФ изменяет N точек сигнала во временной области в N точек сигнала в частотной области». Это относится к комплексному ДПФ, где каждая «точка» есть комплексное число, состоящее из реальной и мнимой части. Теперь сфокусируемся на реальном ДПФ, скоро подойдет трудная математика.
