Фурье анализ назван в честь Джона Баптиста Джозефа Фурье (1768-1830), французского математика и физика. Хотя многие внесли вклад в эту область, Фурье является героем благодаря его математическим открытиям и практической интуиции в технике. Фурье интересовался распространением тепла и представил статью в 1807 году во Французскую Академию об использовании синусоид для описания температурного распределения. Статья содержала спорное утверждение, что любой непрерывный периодический сигнал может быть представлен как сумма соответственно выбранных синусоидальных волн. Два знаменитых математика просмотрели эту статью Джозеф Луис Лагранж (1736-1813) и Пьеро Симон де Лаплас (1749-1827).
В то время как Лаплас и другие вотировали публикацию статьи, Лагранж резко возражал. Около 50 лет Лагранж настаивал на том, что такой подход не может быть использован для представления сигналов с углами, т.е. изломанных подъемов, таких как квадратные волны. Французская Академия покорилась авторитету Лагранжа и не опубликовала работу Фурье. И только после смерти Лагранжа, статья была, в конце концов, опубликована через 15 лет. Фурье занимался и другими вещами: политикой, экспедицией в Египет с Наполеоном и пытался избежать гильотины после Французской революции (буквально!).
Кто был прав? Ответ двойственен. Лагранж был прав в своем утверждении, что сумма синусоид не сможет сформировать сигнал с углом. Однако она может подойти к нему так близко, что разница между суммой синусоид и угловым сигналом будет иметь нулевую энергию. В этом смысле Фурье был прав, хотя наука 18-го столетия мало знала о концепции энергии. Этот феномен теперь получил наименование эффект Гиббса (Gibbs Effect), который мы обсудим в Главе 11.
Рисунок 8-1 иллюстрирует, как сигнал может быть разложен на синусоидальные и косинусоидальные волны. Рисунок (а) показывает пример сигнала длиной в 16 точек с номерами отсчетов от 0 до 15. Рисунок (b) показывает разложение Фурье этого сигнала на 9 косинусов и 9 синусов каждый с разной частотой и амплитудой. Хотя это не очень очевидно, но эти 18 синусоид при сложении дают исходный сигнал (а). Необходимо заметить, что возражение сделанное Лагранжем применимо только к непрерывным сигналам. Для дискретных сигналов это разложение математически точно. Нет разницы между сигналом (а) и суммой сигналов (b) также как нет разницы между 7 и 3+4.
РИСУНОК 8-1а
Почему используются синусоиды, а не квадратные или треугольные волны? Вспомните, имеется бесконечное число способов разложения сигнала. Цель разложения заключается в том, чтобы получить что-то более легкое для работы, чем оригинальный сигнал. Например, импульсное разложение позволяет сигнал исследовать по каждой точке во времени, используя мощный аппарат свертки. Сигналы в виде синуса и косинуса проще, чем оригинальный сигнал потому, что они имеют свойства, которых нет у него - синусоидальную точность воспроизведения (sinusoidal fidelity). Как обсуждалось в главе 5, синусоида на входе системы гарантированно воспроизводит синусоиду на выходе. Только амплитуда и фаза сигнала может измениться, частота и форма волны должны сохраниться точно такими же. Синусоида единственная форма сигнала, которая обладает этим полезным свойством. Хотя разложение на квадраты и треугольники возможно, но нет причин для их использования.
Основной тип преобразования Фурье может быть представлен 4-мя категориями по 4-м типам сигналов, которые могут встретиться. Сигнал может быть непрерывным или дискретным и может быть периодическим или апериодическим. Комбинации этих 2-х характеристик дает 4 категории, описанные ниже и показанные на рисунке 8-2.
РИСУНОК 8-1b
Пример разложения Фурье. 16-точечный сигнал (с противоположной страницы) разлагается на 9 косинусных и 9 синусных волн. Частота каждой синусоиды фиксирована, только амплитуды изменяются в зависимости от формы сигнала.
Апериодический, непрерывный сигнал.Сюда включаются, например, экспоненциально затухающий сигнал и Гауссова кривая. Эти сигналы простираются от минус бесконечности до плюс бесконечности без какого-либо периодического повторения. Преобразование Фурье для этих сигналов называется просто преобразование Фурье.
Периодический непрерывный сигнал. Примеры – синусоидальные волны, квадратные волны и любой вид сигнала, который повторяется с регулярным рисунком от минус бесконечности до плюс бесконечности. Эта версия Фурье преобразования называется ряды Фурье (Fourier Series).
Апериодический дискретный сигнал.Эти сигналы определяются дискретными точками от минуса бесконечности до плюс бесконечности и не повторяются каким-либо периодическим образом.Этоттип преобразования Фурьеназывается дискретным временным преобразованием Фурье (Discrete Time Fourier Transform).
Периодический дискретный сигнал. Это дискретный сигнал, который повторяется каким-либо периодическим образом от минус бесконечности до плюс бесконечности. Этот класс преобразования Фурье иногда называется дискретные ряды Фурье, но чаще называется дискретное преобразование Фурье (Discrete Fourier Transform).
Вы можете подумать, что наименования этих типов преобразования Фурье случайны и плохо продуманы. Вы правы. Имена даны случайно более 200 лет назад. Здесь ничего вы не можете сделать, но только запомнить и пользоваться ими.
Все сигналы этих 4-х классов простирают от минуса бесконечности до плюс бесконечности. Ничего себе, скажете вы. Что, если вы имеете в вашем компьютере только конечное число отсчетов, скажем сигнал из 1024 точек. Ведь нет же версии для преобразования Фурье сигнала конечной длины. Нет. Синусы и косинусы определены, как простирающиеся от минуса бесконечности до плюс бесконечности. Вы не можете использовать группу сигналов бесконечной длины для синтезирования чего-либо конечного. Решение этой дилеммы заключается в том, чтобы конечные данные выглядели как бесконечные данные. Это осуществляется представлением, что сигнал имеет бесконечное число отсчетов справа и слева от точек с реальными данными. Если все эти «воображаемые» отсчеты имеют величину, равную нулю, сигнал выглядит дискретным и апериодическим и может применяться дискретное временное преобразование Фурье. Как альтернатива, воображаемые отсчеты могут быть представлены как копии реальных 1024 точек. В этом случае, сигнал выглядит дискретным и периодическим с периодом 1024 отсчета. Это позволяет использовать дискретное преобразование Фурье.
Оказывается, для синтеза апериодического сигнала требуется бесконечное число синусоид. Это делает невозможным вычисление дискретного временного преобразования Фурье в компьютерных алгоритмах. Как исключение, единственный тип преобразования Фурье, который может быть использован в ЦОС, есть ДПФ. Другими словами, цифровой компьютер может работать только с информацией, которая дискретна и конечна. Когда вы боретесь с теоретическими вопросами, пытаясь преодолеть домашней работой проблемы, и обдумываете математические выкладки, вы можете найти для себя полезным первые 3 члена из семейства преобразований Фурье. Но, когда вы сядете за свой компьютер, вы сможете использовать только ДПФ. Мы будем коротко рассматривать другие преобразования Фурье в последующих главах, но теперь сконцентрируйтесь на понимании дискретного преобразования Фурье.
Посмотрите пример разложения ДПФ на рисунке 8-1. 16-ти точечный сигнал раскладывается на 18 синусоид, каждая состоит из 16 точек. В более формальных терминах, 16-ти точечный сигнал, показанный в (а), может рассматриваться, как сигнал с бесконечным периодом. Подобно этому, каждая из 18-ти синусоид, показанная в (b), представляет 16-ти точечный сегмент синусоиды бесконечной длины. Имеет ли значение, будем ли мы рассматривать это разложение, как 16-ти точечный сигнал, синтезированный из 16-ти точечных синусоид, или как сигнал с бесконечно длинным периодом, синтезированный из бесконечно длинных синусоид? Обычно нет, но иногда да. В следующих главах мы встретимся со свойствами ДПФ, которые кажутся сбивающими с толку, если сигнал рассматривать как бесконечный, но становятся очевидными, когда предполагается периодическая природа сигнала. Главное понять, что эта периодичность вызвана порядком использования математического инструмента, т.е. ДПФ. И не играет роли, откуда берется сигнал или как он получается.
РИСУНОК 8-2
Иллюстрация четырех преобразований Фурье. Сигнал может быть непрерывным и дискретным; периодическим и апериодическим. Всего четыре комбинации, каждая имеет собственную версию преобразования Фурье. Имена неудачны, просто запомните их.
Каждое из четырех преобразований Фурье может быть подразделено на реальную и комплексную версии. Реальная версия самая простая, использует обычные числа и алгебру для синтеза и разложения. Например, рисунок 8-1 есть пример реального ДПФ. Комплексная версия безмерно более сложная, требует использования комплексных чисел. Это числа типа 3 + 4j, где j равна корню из минус единицы (инженеры используют j, математики i). Математика комплексных чисел может быстро ошеломлять даже тех, кто специализируется в ЦОС. В действительности, главная цель этой книги представить основы ЦОС без использования комплексных чисел, делая материал понятным широкому кругу научных работников и инженеров. Комплексное преобразование Фурье есть царство тех, кто специализируется в ЦОС и охотно погружается по самую шею в болото математики. Если у вас есть к этому наклонность, главы 30 – 33 перенесут вас туда.
Математический термин преобразование широко используется в методах ЦОС таких как: преобразование Фурье, преобразование Лапласа, Z-преобразование, преобразование Гильберта, дискретно-косинусное преобразование и т.д. Так что ж такое преобразование? Отвечая на этот вопрос, помните, что это функция. Функция есть алгоритм или процедура, которая изменяет одну величину в другую. Например, y = 2x + 1 есть функция. Вы берете некоторую величину х, вставляете ее в формулу, и на выходе получаете у. Функция так же может изменять несколько величин в одну величину, как: y = 2a + 3b + 4c, где a, b, c преобразуются в у.
Преобразование есть прямое расширение этого, позволяющее как входной величине, так и выходной иметь многочисленные (multiple) значения. Предположим, вы имеет сигнал, состоящий из 100 отсчетов. Если вы придумали некоторую формулу, алгоритм или процедуру для изменения этих 100 отсчетов в другие 100 отсчетов, вы имеете собственное преобразование. Если вы думаете, что оно достаточно полезно, то вы имеете полное право присвоить ему свое имя и изложить своим коллегам его достоинства. (Особенно, если вы знаменитый французский математик 18-го столетия). Преобразования не лимитируются каким-либо специфическим типом или числом данных. Например, вы можете иметь 100 отсчетов дискретных данных для входного сигнала и 200 отсчетов дискретных данных для выходного. Подобно этому, вы можете иметь непрерывный сигнал на входе и непрерывный сигнал на выходе. Смешенные сигналы также допускаются, дискретный на входе и непрерывный на выходе, и наоборот. Короче, преобразование есть любой стационарный процесс, который изменяет один кусок данных в другой кусок данных. Давайте посмотрим, как это осуществляется в разделе с заголовком: дискретное преобразование Фурье.
