Вычисление тестовых матриц

Для выполнения ряда вычислений в области линейной алгебры создан ряд специальных матриц, именуемых тестовыми матрицами. Такие матрицы создаются указанными ниже средствами.

· [А.В,С....] = gallerу('tmfun',P1.P2,...) — возвращает тестовые матрицы, определенные строкой tmfun, где tmfun — это имя семейства матриц, выбранное из списка. Р1, Р2,„. — входные параметры, требуемые для конкретного семейства матриц. Число используемых параметров P1, P2,... изменяется от матрицы к матрице. Функция gallery хранит более 50 различных тестовых матричных функций, полезных для тестирования численных алгоритмов и других целей (включая матрицы Коши, Чебышева, фон Неймана, Вандермонде,Уилкинсо-на и т. д.).

Пример:

» A=gallery('dramadah',5.2)

Матрицы Адамара

· Н = hadamard(n) — возвращает матрицу Адамара порядка п. Матрица Адамара — это. квадратная матрица размера п, составленная из значений 1 и — 1, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение Н' *Н=n* I, где I = eye (п, п) (единичная квадратная матрица размера п). Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов. Матрица Адамара размера nхn при n>2 существует, только если п делится на 4 без остатка. Алгоритм MATLAB вносит дополнительные ограничения, вычисляя матрицы Адамара только для тех n, когда или n, или n/12, или n/20 являются степенями по основанию 2.

Пример:

Матрицы Ганкеля

· hankel(c.r) — возвращает матрицу Ганкеля, первый столбец которой совпадает с вектором с, а последняя строка — с вектором г. Если последний элемент вектора с отличен от первого элемента вектора г, то выдается предупреждение об ошибке, но предпочтение отдается последнему элементу вектора с.

Примеры:

» с=1:4

С=

1 2 3 4

» r=6:10

r =

б 7 8 9 10

» Н - hankel(c.r)

Warning: Column wins anti-diagonal conflict.

H =

1 2 3 4 7

2 3 4 7 8

3 4 7 8 9

4 7 8 9 10

· hankel (с) — возвращает квадратную матрицу Ганкеля, первый столбец которой совпадает с вектором с и все элементы, лежащие ниже первой антидиагонали (из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол), равны 0.

Матрицы Гильберта

· hilb(n) — возвращает матрицу Гильберта порядка п. Матрица Гильберта является примером плохо обусловленной матрицы. Элементы матрицы Гильберта определяются как H(i.j)=l/(i+j-l).

Пример:

» Н = hilb(5)

Н=

1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000

0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667

0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429

0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250

0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111

» cond(hilb(5))

ans =

4.7661е+005

Значение числа обусловленности матрицы Гильберта указывает на очень плохо обусловленную матрицу.

· invhilb(n) — возвращает матрицу, обратную матрице Гильберта порядка п (п<15). Для п>15 функция invhilb(n) возвращает приближенную матриц. Точная обратная матрица — это матрица с очень большими целочисленными значениями. Эти целочисленные значения могут быть представлены как числа с плавающей запятой без погрешности округления до тех пор, пока порядок матрицы п не превышает 15.

Пример:

»Н=invhilb(S)

Н =

А вот результат обращения матрицы Гильберта с плавающей запятой:

» inv(hilb(5))

ans =

1.0e+005 *

0.0002 -0.0030 0.0105 -0.0140 0.0063

-0.0030 0.0480 -0.1890 0.2688 -0.1260

0.0105 -0.1890 0.7938 -1.1760 0.5670

-0.0140 0.2688 -1.1760 1.7920 -0.8820

0.0063 -0.1260 0.5670 -0.8820 0.4410

Вычисление магического квадрата

· magic(n) — возвращает матрицу размера nхn, состоящую из целых чисел от 1 до n ² , в которой суммы элементов по строкам, столбцам и главным диагоналям равны одному и тому же числу. Порядок матрицы должен быть больше или равен 3.

Матрицы Паскаля

· pascal (n) — возвращает матрицу Паскаля порядка п, т. е. симметрическую положительно определенную матрицу с целочисленными элементами, взятыми из треугольника Паскаля;

· pascal (n. 1) — возвращает нижний треугольный фактор (до знаков столбцов) Холецкого для матрицы Паскаля. Полученная матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю, является своей обратной матрицей, т. е. квадратным корнем из единичной матрицы;

· pascal(n,2) — возвращает матрицу, полученную в результате транспонирования и перестановок матрицы pascal (n. 1), при этом результат является кубическим корнем из единичной матрицы.

Матрицы Теплица

· toepl itz(c , r) — возвращает несимметрическую матрицу Топлица, где с — ее первый столбец, а г — первая строка. Если первый элемент столбца с и первый элемент строки г различны, то выдается соответствующее предупреждение, но отдается предпочтение элементу столбца;

· toeplitz(r) — возвращает симметрическую, или эрмитову, матрицу Топлица, однозначно определяемую вектором r. Пример:

» с=1:3;

» r=1.5:4.0;

» Т= toeplitz(c.r)

Warning: Column wins diagonal conflict.

Т =

1.0000 2.5000 3.5000

2.0000 1.0000 2.5000

3.0000 2.0000 1.0000

Матрицы Уилкинсона

wilkinson(n) — возвращает одну из тестовых матриц Уилкинсона. (Другие матрицы Уилкинсона можно вызвать при помощи функции gallery). Это симметрич-ческая матрица, собственные значения которой попарно близки, но не равны друг другу. Наиболее широко используется wilkinson(21), собственные значения которой (10.746) совпадают до 14-го знака после запятой (различаются с 15-го).

Пример:

W = wilkinson(5)

W=

2 1 0 0 0

1 1 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1 1 1

0 0 0 1 2

Данные о множестве других тестовых матриц можно найти в справочной системе MATLAB.