Нормальные формы формул алгебры высказываний

Если в какой – либо логической ситуации данная формула принимает значение «истинно», она называется выполнимой. К классу выполнимых формул относятся такие формулы, множество истинности которых не пусто. В противном случае формула называется невыполнимой.

Установить тот факт, что данная формула является выполнимой, можно с помощью истинностных таблиц. Нужно построить истинностную таблицу данной формулы и убедиться в том, что она содержит не одни нули. В противном случае формула является невыполнимой, тождественно ложной.

При большом числе переменных истинностные таблицы громоздки. Установить тип формулы (невыполнима – тождественно ложна, выполнима – тавтология или переменное высказывание, принимающее в одних ситуациях значение «истинно», в других – «ложно») удобнее с помощью так называемых нормальных форм.

Определение 1. Элементарным произведением (или основной конъюнкцией) называется конъюнкция элементарных высказываний или их отрицаний.

Определение 2. Элементарной суммой (или основной дизъюнкцией) называется дизъюнкция элементарных высказываний или их отрицаний.

Элементарная конъюнкция «k» и элементарная дизъюнкция «d» над множеством переменных могут быть записаны формулами:

,

где i_kÎ{1,2, ... n} для всех

d _kÎ{0,1}, причем

Пусть сложное высказывание состоит из 4^х элементарных, обозначенных соответственно A, B, C, D. Элементарные дизъюнкции и элементарные конъюнкции могут быть составлены соответственно и элементарных высказываний.

Так, имеем K₁=A D, K₂= BC , K₃= - некоторые из элементарных конъюнкций, соответственно d₁= ÚBÚ Ú , d₂=AÚ ÚC – некоторые из элементарных дизъюнкций.
В дальнейшем будем пользоваться большими латинскими буквами для обозначения переменных.

Теорема 1. Элементарное произведение является тождественно ложным тогда и только тогда, когда оно содержит пару сомножителей, один из которых является элементарным высказыванием, а другой – его отрицанием.

Теорема 2. Элементарная сумма является тождественно истинной тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну пару слагаемых, из которых одно является элементарным высказыванием, а другое – его отрицанием.

Так, элементарная сумма AÚBÚCÚ тождественно истинна, элементарное произведение ABC тождественно ложно.

Определение 3. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных произведений, называется дизъюнктивной нормальной формой данной формулы и обозначается ДНФ.

Пример: ABCÚB Ú .

Определение 4. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных произведений, называется конъюнктивной нормальной формой данной формулы и обозначается КНФ.

Пример: (BÚ Ú )(AÚB)B.

Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм. Для этого нужно:

1. Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными – конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

A®B= ÚB,

A«B=( ÚB)(AÚ )=ABÚ .

2. Заменить знак отрицания, относящийся к выражениям типа или , знаками отрицания, относящимся к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

= Ú ,

= Ù .

3. Избавиться от знаков двойного отрицания на основании равенства =A.

4. Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности.