Упражнение 2.2.1

Между какими парами высказываний, приведенных ниже, существует отношение следствия?

S₁: Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она – касательная к окружности.

S₂: Прямая есть касательная к окружности тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью.

S₃: Если прямая перпендикулярна к радиусу окружности, но не проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она не является касательной к окружности.

S₄: Если прямая проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, но не является касательной, то прямая не перпендикулярна к радиусу окружности.

Введем элементарные высказывания:

A: Прямая перпендикулярна к радиусу окружности.

B: Прямая проходит через точку пересечения радиуса с окружностью.

C: Прямая – касательная к окружности.

Запишем формулы приведенных высказываний.

S1=AB®C S2=C«AB

S3=A ® S4=B ®

Построим истинностные таблицы этих высказываний, получим:

Таблица 2.2.3

Из высказывания S₂ следует S₁ и S₄, т. к. при истинностных значениях «1» в первой, четвертой, шестой и восьмой строках высказывания S₂ те же значения «1» имеем в указанных строках высказываний S₁ и S₄ и импликации S₂®S₁, S₂®S₄ становятся тождественно истинными высказываниями S₂®S₁º1, S₂®S₄º1.

Особое место занимает пара высказываний S₁ и S₄. Каждая из них следует из другого: из S₁ следует S₄ и из S_4, следует S₁. В этом случае говорят, что высказывания S₁ и S₄ эквивалентны.