Упражнение 2.1.5

При составлении расписания на понедельник преподаватели просили, чтобы уроки проходили в следующем порядке:

1) математика первым или третьим уроком;

2) история – первым или вторым;

3) литература – вторым или третьим.

Можно ли удовлетворить просьбы всех трех преподавателей и, если это возможно, то каким образом ?

Введем следующие элементарные высказывания:

А – математика – I^ый урок

В – математика – III^ий урок

С – история – II^ой урок

D – история – I^ый урок

E – литература – II^ой урок

F – литература – III^ий урок

Просьбы всех преподавателей выражены высказываниями S₁=АÚВ, S₂=CÚD, S₃=EÚD.

Высказывание, удовлетворяющее просьбы всех трех преподавателей, очевидно, есть конъюнкция S₁, S₂, S₃, т.е. S = S₁ Ù S₂ Ù S_3, и оно должно быть истинным, т.е. S=1. Применим дистрибутивный закон №7 в преобразованиях S:

S=(AÚB)(CÚD)(EÚF)=(ACÚBCÚADÚBD)(EÚF).

В данном случае конъюнкция AD=0, т.к. первым уроком математика и история одновременно быть не могут.

S=ACЕÚBCЕÚBDЕÚACFÚBCFÚBDF.

Очевидно, АСЕ=0, т.к. СЕ=0: второй урок не может быть одновременно уроком истории и литературы. Аналогично: ВСЕ=0, BCF=0, BDF=0, т.е. S= BDЕÚACF=1.

Дизъюнкция истинна, если одно из слагаемых истинно: BDЕ=1; ACF=1.

Конъюнкция высказываний истинна, если истинны все входящие в нее сомножители. В результате получаем два возможных варианта ответа:

1) BDЕ=1, т.е. история – I^ый урок,

литература – II^ой урок,

математика – III^ий урок.

2) ACF=1, т.е. математика – I^ый урок

история – II^ой урок,

литература – III^ий урок.

Варианты импликации

В математике весьма важными являются понятия: «необходимое условие», «достаточное условие», которые могут быть записаны с помощью связи импликации.

«А достаточное условие для В», очевидно выражается формулой: А®В, а «А необходимое условие для В» – формулой В®А, которую называют конверсией импликации. В конверсии импликации посылка А и заключение В меняются местами.

Достаточное условие может быть выражено формулой, равносильной формуле А®В, а именно , называемой контроппозицией, а необходимое условие – формулой , называемой конверсией контроппозиции.
В рассуждениях эти равносильные формулы заменяют друг друга. Кроме того, «А достаточно для В» может быть выражено в виде «А только, если В», (не путать с «А если и только если В»), т.к. это означает: «Если не В, то не А», т.е.

=А®В.

Итак, получим:

«А достаточно для В»: А®В= , «А только, если В»;

«А необходимо для В»: .

Очевидно, необходимое и достаточное условие выражается двойной импликацией