Задание 2

Приближенное решение уравнений.

Отделение корней. Уточнение корней.

1. Цель работы

Ознакомиться с численными методами решения конечных уравнений.

2. Основные теоретические положения

2.1. Постановка задачи

В общем случае уравнение с одним неизвестным имеет вид

f(x)=0, (7)

где f (х) – заданная функция, определенная на отрезке [a,b]. Всякое число x (действительное или мнимое) на отрезке [a,b], обращающее уравнение в тождество:

f(x)є0 (8)

называется корнем уравнения или его решением.

Решение задачи приближенного определения корней уравнения состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. нахождение подинтервалов [a,b] на отрезке [a,b], которые содержат только один корень уравнения;

2) уточнение корней, т.е. непосредственное вычисление значений корней на найденных подинтервалах [a,b] с заданной точностью e.

2.2. Отделение корней

Графический способ отделения корней заключается в построении графика функции f(x) на отрезке [a,b]. Точка пересечения графика функции с осью абсцисс дает приближенное значение корня уравнения. Найденные таким образом приближенные значения корней позволяют выделить отрезки [a, b], на которых при необходимости можно выполнить уточнение корней (рис.1).

f(x)

x₁x₂x₃

a₁ b₁a₂ b₂a₃ b₃х

Рис. 1

При отделении действительных корней расчетным путем для непрерывных функций f(x) можно руководствоваться следующими соображениями:

если на концах отрезка [a,b] функция имеет разные знаки (f(a)×f(b)<0), то между точками а и b на оси абсцисс имеется нечетное число корней;

если же f(a)× f(b)>0, то между а иb имеется четное число корней или их совсем нет;

если f(a)× f(b)<0 и либо первая производная f¢(x), либо вторая производнаяf ^¢¢(x) не меняют знака на этом отрезке, то уравнение имеет единственный корень на отрезке [a, b].

2.3. Уточнение корней

Численный метод, при котором уточняется первоначальное грубое приближение, называется итерационным методом или методом последовательных приближений. Каждый шаг этого метода называется итерацией.

Если при последовательных итерациях (к = 1,2,...) получаемые величины х^(к) все ближе приближаются к истинному значению корня x, то итерационный процесс будет сходящимся,в противном случае – расходящимся. При этом различают монотонную и колебательную сходимость (расходимость) в зависимости от того, с одной или с разных сторон осуществляется приближение (удаление) к (от) искомому решению.

Для реализации итерационного процесса должны быть заданы начальное приближение х⁽⁰⁾ и точность e, с которой требуется найти решение уравнения. Первоначальное грубое приближение х⁽⁰⁾следует задавать из физических соображений и по результатам отделения корней. Все остальные приближения получаются из итерационной формулы, соответствующей используемому методу решения уравнения.

Условие окончания итерационного процесса (нахождения значения корня с точностью e) имеет вид

Ѕx⁽^к⁺¹⁾- x⁽^к⁾Ѕ=< e, k = 0,1,2,3,… . (9)

2.3.1 Уточнение корней Методом Ньютона

Опишем процедуру уточнения корня , который отделён и находится на отрезке . Уточнение корня проведём, используя итерационную формулу Ньютона

, (10)

где – приближение к корню на k-ом шаге (на k-ой итерации), . В пределе: при .

Начальное приближение – это любая точка из отрезка , удовлетворяющая условию сходимости итерационного процесса (1)

. (11)

Обычно в качестве значения используют либо левый, либо правый конец отрезка .

Пример 1.

Уточнить корень уравнения на отрезке , сделав три шага по формуле Ньютона.

○Вычислим первую и вторую производные функции . Получим и .

Итерационное уравнение в нашем случае запишется так

,

или после приведения дробей к общему знаменателю в правой части последнего соотношения, получим более удобное для дальнейших вычислений уравнение

. (12)

В качестве начального приближения возьмём правый конец отрезка .

Проверяем условие сходимости (11)

.

Условие сходимости метода Ньютона для выполнено. Последовательно применяя соотношение (3), получим:

; ;

.

Уточнённое значение корня .

В качестве оценки абсолютной погрешности, полученного результата можно использовать величину .●