Задание 1

Интерполяция функций с равноотстоящими узлами.

1. Цель работы

Построение функциональной зависимости по экспериментальным данным.

2. Основные теоретические положения

2.1. Приближение функций одной переменной

Одной из наиболее важных проблем численного анализа является проблема приближенного описания неизвестной функциональной зависимости по известным ее значениям в некоторых точках, называемых узловыми.

2.2. Постановка задачи интерполяции

Задача интерполирования может быть сформулирована следующим образом.

Пусть на отрезке [a, b] заданы n + 1 точки х₀, x₁, … , x_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой интерполируемой функции f (x) в этих точках, т. е.

y₀= f (x₀); y₁= f (x₁); … ; y_n= f (x_n).

Требуется построить интерполирующую зависимость F(x), которая в узлах интерполяции принимает те же значения, что и интерполируемая функция f (x), т.е.

F(x₀) = f (x₀) = y₀,

. . . . . . . . . . . . .

F(x_n) = f (x_n) = y_n.

Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции.

Чаще всего в качестве интерполирующей функции F(x) используются многочлены . Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен , обеспечивающий требуемую точность интерполяции e, т.е. удовлетворяющий условию

. (1)

Наиболее успешно для интерполяции используется многочлен Ньютона, в записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности.

2.3. Конечные разности

Пусть для значений , где h – шаг интерполяции, известны значения функции

Определение: Конечной разностью первого порядка называется разность

(2)

Аналогично определяются конечные разности второго и более высокого порядка

(3)

Конечные разности при вычислении удобно записать в табл.1.

Таблица 1

i x_i y_i Dy_i D²y_i D ³y_i D⁴y_i

x₀ y₀ Dy₀ D²y₀ D³y₀ D⁴y₀

x₁ y₁ Dy₁ D²y₁ D³y₁

x₂ y₂ Dy₂ D²y₂

x₃ y₃ Dy₃

x₄ y₄

Отметим, что число (порядок) конечных разностей всегда на единицу меньше числа узлов.

2.4. Интерполяционный полином Ньютона

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде

(4)

или

. (5)

Можно показать, что оценка погрешности R_n(x) при замене f(x) полиномом P_n(x) имеет вид:

R_n(x)= . (6)

2.5. Решение задачи

Пример 1.

Закон движения некоторого объекта y = f(x) представлен в табл. 2 (x – время, y –путь).

Таблица 2

x

y

Требуется найти пройденный объектом путь к моменту x = 3,5.

○Для вычисления y = f(3,5) необходимо на основе табл.1 получить математическое описание функциональной зависимости y = f(x).

Если использовать критерий точного совпадения в узлах, то число определяемых параметров аппроксимирующей функции равно числу точек. При выборе такого критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов.

Заполним таблицу конечных разностей для экспериментальных данных, приведенных в табл.2. Вычисления удобно проводить с использованием табличного процессора Excel (табл.3).

Таблица 3.

Видим, что здесь шаг интерполяции h = 1. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей, т.е., по формуле (4) или (5) имеем:

.

Подставим наши данные и получим, что

Тогда путь , пройденный к моменту , составит величину

.●