Элементарные функции и конформные отображения

Изучаемые вопросы: Линейная ФКП. Геометрический смысл производной. Дробно-линейная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические ФКП.

Простейшей из рассматриваемых элементарных ФКП является линейная:

, (4)

являющаяся формальным аналогом линейной функции вещественного переменного . Но вещественная функция ставит в соответствие точкам оси точки оси , т.е. осуществляет отображение , а ФКП (4) отображает точки комплексной плоскости в точки комплексной плоскости (рис.1).

Пусть , т.е.

, тогда (4) можно представить как сложную функцию, составленную из функций

1) ;

2) ;

3) ;

Видим (рис.2), что 1) отображает поворот вектора на угол , изображаемый вектором , 2) – отображает подобное преобразование вектора в вектор с коэффициентом подобия , а 3) – отображает сдвиг на постоянную величину . Суперпозиция этих трёх преобразований и даёт в итоге вектор .

Пусть имеет в точке конечную производную . Переменная, стремящаяся к конечному пределу, отличается от него на бесконечно малую:

, (5)

где при . В (5) , и пусть

, (6)

тогда

. (7) (5.9)

Последнее выражение показывает, что любое дифференцируемое отображение в окрестности фиксированной точки приближённо можно считать линейным, если выполняется условие (6). Отсюда вытекает геометрический смысл производной от ФКП: в малой окрестности точки происходит подобное преобразование с коэффициентом и поворот на угол . Такое преобразование называется конформным в точке . Достаточным условием этого является условие (6).

Отображение называется конформным в области, если оно взаимнооднозначно и конформно в каждой точке области. Заметим, что при конформном отображении, отличном от линейного, коэффициент подобия и угол поворота меняется от точки к точке.

Об остальных функциях Вы прочтёте Учебном пособии. Здесь лишь заметим, что, в отличие от функций вещественного переменного, показательная ФКП является периодической с периодом , логарифмическая – бесконечнозначной, и что формально формулы дифференцирования элементарных ФКП совпадают с оными для функций вещественного переменного.

Вопросы для самопроверки по теме 2.3

1. В чём состоит геометрический смысл производной от ФКП?

2. Напишите формулы элементарных ФКП: линейной, дробно-линейной, показательной, логарифмической.

3. В чём отличие вещественной и комплексной логарифмических функций?

4. Напишите равенство Эйлера.

5. Как выражаются тригонометрические функции вещественной переменной через показательную функцию?