Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана

Изучаемые вопросы: Определение ФКП. Предел и непрерывность. Производная и дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Регулярность. Гармонические функции.

По этой теме Вам также предстоит решить задачу контрольной работы (см. [4]).

2.2.1. Общие замечания

Все нужные определения и примеры приведены в Учебном пособии.

При изучении материала обратите внимание на схожесть понятий для ФКП и функций вещественного переменного. Различие в понятиях бесконечности на вещественной оси и бесконечно удалённой точки (БУТ) на комплексной плоскости основано на следующем.

Понятие БУТ вводится по аналогии с расширением вещественной оси, к которой добавляют две «бесконечные» точки: и . Комплексная плоскость с добавленной БУТ также называется расширенной. Геометрическую интерпретацию этого понятия дал Риман (сфера Римана).

Рассмотрим сферу произвольного радиуса , касающуюся комплексной плоскости в начале координат (рис.1). Пусть – верхний конец вертикального диаметра (северный полюс). Любое к.ч. изображается точкой на комплексной плоскости. Соединим эту точку с полюсом , и пусть – точка пересечения прямой со сферой. Точка называется стереографической проекцией точки . Тогда . Наоборот, . Соответствие будет однозначным, если считать, что . Тогда, при , т.е. окрестностью БУТ следует считать множество точек расширенной комплексной плоскости: , т.е. внешность любого круга радиуса с центром в начале координат .

Необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости ФКП являются условия Коши-Римана, которые совпадают с уравнениями (1). Следует запомнить все четыре выражения для производной ФКП через частные производные её вещественной и мнимой частей:

(2)

Важным в ТФКП является понятие регулярной функции: функция однозначная и дифференцируемая в каждой точке некоторой области называется регулярной в этой области. Из этого определения следует, что для регулярной функции выполняются условия Коши-Римана.

Функция, регулярная в окрестности некоторой точки, называется регулярной в этой точке. Оказывается, что функция, регулярная в точке, имеет в этой точке производные любых порядков.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа

, (3)

называются гармоническими функциями. Уравнение (3) имеет большое значение в электродинамике, описывая потенциал постоянного электрического поля в пустоте.

Вопросы для самопроверки по теме 2.2

1. В чём заключаются условия Коши-Римана?

2. Напишите четыре уравнения для вычисления производной ФКП.

3. Что означает регулярность функции?

4. Какие функции называются гармоническими?