Возьмём определитель и, используя данное преобразование, получим ноль слева вверху. Для этого мысленно либо на черновике умножим второй столбец на –3: и к первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3:
Результат запишем в первый столбец:
И, наконец, в определителе получим ноль справа внизу. Для этого ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный (мысленно) на 2(смотрим и считаем справа налево):
Результат помещаем во второй столбец:
При элементарном преобразовании меняется ТОТ столбец, к которому прибавляЮТ.
Задача состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований понизить порядок определителя до второго порядка.
С чего начать? Сначала в определителе нужно выбрать число-«мишень». В качестве «мишени» почти всегда выступает единица либо –1. Смотрим на определитель и замечаем, что здесь даже выбор есть. Пусть числом-«мишенью» будет элемент :
. В данном случае индексы элемента говорят нам о том, что он располагается во второй строке, третьем столбце.
Идея состоит в том, чтобы получить два нуля в третьем столбце:
Либо получить два нуля во второй строке:
Во второй строке числа поменьше (не забываем золотое правило), поэтому выгоднее взять именно её. А третий столбец с числом-«мишенью» останется неизменным:
Ко второму столбцу прибавляем третий столбец:
Тут и умножать ничего не пришлось.
Результат записываем во второй столбец:
К первому столбцу прибавляем третий столбец, умноженный (мысленно) на –2: Результат записываем в первый столбец, раскладываем определитель по второй строке:
Как мы понизили порядок определителя? Получили два нуля во второй строке.
Решим пример вторым способом, организуем нули в третьем столбце:
Вторая строка с числом-«мишенью» останется неизменной:
К первой строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на –4:
Результат записываем в первую строку:
К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на 3 (смотрим и считаем снизу вверх):
Результат записываем в третью строку, определитель раскрываем по третьему столбцу:
Заметьте, что нет никакой необходимости переставлять строки или столбцы. Элементарные преобразования прекрасно работают как слева направо, так и справа налево. Как сверху вниз, так и снизу вверх.
Задание 4
Вычислить тот же определитель , выбрав в качестве числа-«мишени» элемент . Понизить его порядок двумя способами: получив нули во второй строке и получив нули во втором столбце.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и краткие комментарии в конце урока.
Иногда в определителе отсутствует единица либо –1, например: . В этом случае «мишень» следует организовать с помощью дополнительного элементарного преобразования. Сделать это можно чаще всего несколькими способами. Например: к первой строке прибавим вторую строку, умноженную –1:
Результат записываем в первую строку:
! Внимание: НЕ НУЖНО из первой строки вычитать вторую строку, это значительно увеличивает вероятность ошибки. Только складываем! Поэтому к первой строке прибавляем вторую строку, умноженную –1. Именно так!
Единица получена, чего и требовалось достичь. Далее можно получить два нуля в первой строке либо в первом столбце. Желающие могут довести решение до конца (верный ответ: –176).
Стоит отметить, что готовая «мишень» чаще всего присутствует в исходном определителе, а уж для определителя 4-го порядка и выше дополнительное преобразование крайне маловероятно.
Задача
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера
.
Решение: сначала вычислим главный определитель системы:
Есть возможность пойти стандартным путём, разложив данный определитель по строке либо столбцу. Вспоминая алгоритм первого урока, и, используя придуманную мной матрицу знаков , раскроем определитель, например, по «классической» первой строке:
Но беда в том, что в дальнейшем предстоит вычислить ещё 4 определителя четвёртого порядка. Поэтому единственный разумный выход – понизить порядок определителя.
Единиц в определителе много, и наша задача выбрать лучший вариант. Вспоминаем золотое правило: в строке (столбце) нулей должно быть побольше, и числа – поменьше. По этой причине вполне подходит вторая строка либо четвёртый столбец. Четвёртый столбец выглядит привлекательнее, причём, там есть две единицы. В качестве «мишени» выбираем элемент :
Первая строка не изменится. И вторая тоже – там уже необходимый ноль:
К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на –1 (смотрим и считаем снизу вверх):
! Внимание ещё раз: Не нужно из третьей строки вычитать первую строку. Только складываем!
Результат записываем в третью строку:
К четвёртой строке прибавим первую строку, умноженную на 3 (смотрим и считаем снизу вверх):
Результат записываем в четвёртую строку:
(1) Раскрываем определитель по четвёртому столбцу. Не забываем, что к элементу нужно добавить «минус» (см. матрицу знаков).
(2) Порядок определителя понижен до 3-его. В принципе, его можно разложить по строке (столбцу), но лучше отработаем свойства определителя. Вносим минус во вторую строку.
(3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 7.
(4) Раскрываем определитель по второму столбцу, тем самым ещё понижая его порядок до двух.
Итак, , значит, система имеет единственное решение.
Вычислим определитель .
. При этом в качестве «мишени» выгоднее выбрать элемент , получив нули в третьей строке:
Тут даже умножать ничего не надо: Ко второму столбцу прибавим третий столбец: . И к 4-му столбцу прибавим третий столбец: (смотрим и считаем справа налево)
Решаем дальше:
(1) Раскрываем определитель по третьей строке. Порядок определителя понижен до трёх.
(2) Вносим «минус» в первый столбец.
(3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 5.
(4) Раскрываем определитель по второму столбцу, понижая порядок определителя до двух.
По формулам Крамера:
Вычислим определитель .
. Выберем элемент и получим нули в первой строке:
(1) К первому столбцу прибавим третий столбец, умноженный на –3. Ко второму столбцу прибавим третий столбец, умноженный на 8. К четвёртому столбцу прибавим третий столбец, умноженный на –1.
(2) Раскрываем определитель по первой строке. Порядок определителя понижен до трёх.
(3) Ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный на 5. К третьему столбцу прибавим первый столбец, умноженный на –2.
(4) Раскрываем определитель по первой строке. Порядок определителя понижен до двух.
(5) Столбцы определителя пропорциональны, значит, он равен нулю.
По формулам Крамера:
Задание 5
Самостоятельно вычислить определители и найти
С пятого порядка понижаем до четвёртого, с четвёртого – до третьего и с третьего – до второго:
(1) К первой, третьей, четвертой и пятой строкам прибавим вторую строку.
(2) Раскрываем определитель по 3-ему столбцу. Порядок определителя понизился до 4-х.
(3) Из 4-го столбца выносим 2. Первую строку умножаем на –1, и чтобы определитель не изменился, ставим перед ним «минус». Данное преобразование выполнено в целях упростить дальнейшие вычисления.
(4) Ко второй и третьей строкам прибавим первую строку. К четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на 3.
(5) Раскрываем определитель по 4-му столбцу. Порядок понижен до трёх.
(6) Раскрываем определитель по 2-му столбцу. Порядок понижен до двух.
(7) Выносим «минус» из 1-го столбца.
Всё вышло проще, чем казалось, у всех монстров есть слабые места!
Неутомимые читатели могут попробовать решить определитель пятого порядка каким-нибудь другим способом, благо, единиц в нём тьма.
Заходите, завтра в меню крокодилы!
Решения и ответы:
Задание 1: Решение:
Задание 2: Решение: определитель выгоднее вычислить по третьей строке: Разложение по первому столбцу менее рационально – там числа больше, и вычисления чуть более громоздкие.
Задание 3: Решение:
1) Из первой строки вынесли 13, из второй строки вынесли 2, из третьей строки вынесли 5. (2) Из второго столбца вынесли –7. (3) Разложили определитель по первому столбцу.
Задание 4: Решение: Понизим порядок определителя, получив нули во второй строке: К первому столбцу прибавили второй столбец, умноженный на 2. К третьему столбцу прибавили второй столбец. Определитель раскрыли по второй строке.
Понизим порядок определителя, получив нули во втором столбце: К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2. Определитель раскрыли по второму столбцу.
Задание 5: Решение: (1) К первой строке прибавим третью строку, умноженную на 3. Ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на 5. К 4-ой строке прибавим третью строку, умноженную на 2. (2) Раскрываем определитель по первому столбцу. (3) Ко второму столбцу прибавим третий столбец, умноженный на 9. К первому столбцу прибавим третий столбец. (4) Раскрываем определитель по третьей строке.
(1) К первому столбцу прибавим второй столбец. К третьему столбцу прибавим второй столбец (2) Раскрываем определитель по третьей строке. (3) Вносим «минус» в первую строку. (4) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 6. К третьей строке прибавим первую строку (5) Раскрываем определитель по первому столбцу.
и, используя данное преобразование, получим ноль слева вверху. Для этого мысленно либо на черновике умножим второй столбец на –3: 
и к первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3:
:
говорят нам о том, что он располагается во второй строке, третьем столбце.
. Понизить его порядок двумя способами: получив нули во второй строке и получив нули во втором столбце.
. В этом случае «мишень» следует организовать с помощью дополнительного элементарного преобразования. Сделать это можно чаще всего несколькими способами. Например: к первой строке прибавим вторую строку, умноженную –1:
, раскроем определитель, например, по «классической» первой строке:
:
, значит, система имеет единственное решение.
.
, получив нули в третьей строке:
. 
(смотрим и считаем справа налево)
.
и получим нули в первой строке:
