Декартово произведение множеств

1. Доказать, что существуют такие множества А, В, и С что

А´ В ¹ В´А.

2. Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств:

2.1. [a, b]²;

2.2. [a, b]´[c, d], где [a, b] и [c, d] Í R.

2.3. {0, 1}³.

3. Доказать, что если А, В, С, и D не пусты, то

3.1. А Í В и С Í D Û А ´ С Í В ´ D;

3.2. A=B и C=D Û А´С =В´D/

4. Доказать, что

4.1. (А ÇВ)´(С Ç D)= (А´С) Ç(В´D);

4.2.

5. Доказать, что (А´В) È (С´D)Í(А ÈС)´(В ÈD). При каких А, В, С, и D получается равенство?

6. Доказать, что

6.1. (А È В)´С=(А´С) È(В´С);

6.2. А´(В ÈС)=(А´В) È(А´С);

6.3. (А ÈВ)´(С ÈD)=(А´С) È (В´С) È(А´D) È(В´D);

6.4. (А\В)´С=(А´С)\(В´С);

6.5. А´(В\С)=(А´В)\(А´С);

6.6. А´В=(А´D) Ç(С´В), где А Í С и В Í D;

6.7. 1²-(А´В)=991\А)´1) È(1´(1\В));

6.8.

6.9.

7. Пусть А,В ¹ Æ и (А´В) È(В´А)=С´D. Доказать, что А=В=С=D.