Решение систем уравнений

1. Решить систему уравнений

где А, В, и С - данные множества, и В ÍА ÍС.

Решение:

Используя тождества задач 1.2 и 1.3 предыдущего раздела, получим:

· А ÇХ =В Û А Ç Х ÍВ и В Í А Ç Х. Следовательно, из второго включения

В Í А, и В ÍХ; из первого включения : Х Í `А È В. Из этих двух

включений: В Í Х Í `А È В.

· А È Х = С Û А È Х Í С и С Í А È Х. Из первого включения следует,

что А Í СХ Í С, из второго включения имеем С Ç `А Í Х. Следовательно,

С Ç `А ÍХ Í С.

· Соединяя двойные включения, полученные из первого и второго уравнений,

получим (`А Ç С) È В Í Х Í С Ç ( `А È В). Преобразуя правое

выражение, получим: С\А È В Í Х Í С\А È В.

Следовательно,Х = А\С ÈВ.

2. Решить систему уравнений

где А, В, С - данные множества и В Í А, А ÇС= Æ.

Ответ: Х=С È(А\В).

3. Решить систему уравнений

где А, В, С - данные множества и В Í А Í С.

Ответ: Х = С\В.

4. Решить систему уравнений

При каких А, В и С система имеет решение?

Решение:

Два множества P и Q равны тогда и только тогда, когда пересечение

P Ç `Q =Æ и P È`Q=I.

1. Пусть А È Х = В Ç Х.

Тогда (А È Х) Ç (В ÇХ)= Æ. Преобразуем это выражение обычным образом:

(А È Х) Ç(`В È `Х)= (А Ç `В) È (А Ç `Х) È (`В Ç Х) = Æ.

Объединение множеств может быть пусто тогда и только тогда, когда пусты все множества, участвующие в объединении (по определению объединения). Т.е.

А Ç `В = Æ, Х Ç`В = Æ, А Ç `Х = Æ.

Из А Ç `В = Æ , следует, что А Í В.

Из Х Ç`В = Æ, следует, что то Х Í В.

Из А Ç `Х = Æ следует, что А Í Х.

Из полученных выражений получаем двойное включение А Í Х Í В и А Í В.

2. Пусть А Ç Х = С È Х.

Тогда (А ÇХ) Ç (С È Х) = Æ. Преобразуем это выражение обычным образом:

(А Ç Х) Ç (`С Ç `Х ) = Æ. Это тождественное равенство, так как Х Ç `Х = Æ по аксиоме дополнения. Поэтому перепишем преобразование иначе:

(А Ç Х) Ç (С È Х) = Æ. Отсюда

( `А È `Х ) Ç (С È Х) = ( `А Ç С ) È (`А Ç Х) È (С Ç `Х ) = Æ.

Из ( `А Ç С ) = Æ следует, что С Í А.

Из ( `А Ç Х) = Æ следует, что Х Í А.

Из (С Ç `Х) = Æ следует, что С Í Х .

Из полученных выражений получаем двойное включение С Í Х Í А и С Í А.

3. Объединяя полученные двойные включения, получим:

А È С Í Х Í А Ç В. Так как С Í А Í В, то А È С = А и А Ç В = А.

Окончательно получаем А Í Х Í А,т.е. Х=А.

4. Решить систему уравнений

При каких А, В, С система имеет решение?

Решение: Используем для решения тот же подход что и в задаче 3.

1. Пусть (А Ç Х) Ç (В Ç `Х ) = Æ. Отсюда получим: В Ç `А Í Х и В Í Х.

2. Пусть (С È Х) Ç (Х\А)= Æ. Отсюда - С Í Х Í `А.

3. Объединяя полученные в пунктах 1 и 2 включения, получим

В È С Í Х Í `Апри условии, чтоВ È С Í `А.

5. Решить систему уравнений и определить, при каких А, В, С система имеет решение.

Решение: Воспользуемся приемом задачи 3 настоящего раздела.

1. (А Ç `Х) Ç Х\В = Æ . Отсюда получим А Ç В Í Х и AÍX.

2. Х\А Ç С\Х = Æ. Отсюда - Х Í А È С и XÍA.

Объединяя полученные включения, получим

А Í Х Í А. Отсюда Х = А.