Задания на самостоятельную работу. Разложение функций в ряд Тейлора.

4.1.Разложение функций в ряд Тейлора.Остаточный член формулы Тейлора .

Пусть функция имеет в точке производные всех порядков до -го включительно. Тогда для справедлива формула Тейлора:

,

где , называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано;

— бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .

Если отбросить остаточный член, то получится приближенная формула Тейлора

,

правая часть которой называется многочленом Тейлора функции ; его обозначают .

Приближенная формула позволяет заменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора.
Из формулы Тейлора видно, что чем точка ближе к точке , тем выше точность такой аппроксимации и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных

имеет функция в некоторой окрестности точки , тем выше точность, с которой многочлен Тейлора аппроксимирует функцию в этой окрестности.

4.2. Разложение основных элементарных функций.

Положив и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций:

· ;

· ;

· ;

· ;

· ;

Пример 1.Оценка остаточного члена

Разложим функцию в окрестности до членов седьмого порядка включительно. Вычислим остаточный член как разность между функцией и ее многочленом Тейлора.

Разложим функцию sinx по формуле Тейлора в окрестности х₀ =0 до члена х⁷ включительно

Решение примера в среде пакета Mathcad

Для того чтобы получить разложение функции по формуле Тейлора в окрестности нуля , введите функцию , выделите переменную х , щелкните по строке Expand to Series в пункте Variable меню Symbolicsи укажите в окне диалога порядок остаточного члена( например 8 ).

sin(x)

Запишем многочлены Тейлора и вычислим остаточные члены как разность между функцией и многочленами Тейлора

Построим графики функции и ее многочленов Тейлора разного порядка

Из графика видно, что уже T7(x) достаточно хорошо аппроксимирует sinx на промежутке (-2, 2).
Построим графики остаточных членов разного порядка.

Для того чтобы построить график, щелкните по символу декартова графика а панели Graph и введите в помеченных позициях возле координатных осей имена аргумента и функции.

Для того чтобы изобразить на одном графике несколько функций одного и того же аргумента , введите в позиции возле оси ординат имя первой функции , введите запятую , имя следующей функции , запятую , и т.д. , разделяя имена функций запятой.

Для того чтобы изменить стиль изображения , щелкните по графику дважды и измените параметры изображения в открывшемся временном окнг настройки изображения.

Приложения.

Приложение А. Системные переменные

Ниже приведены системные переменные и константы Mathcad с их значениями по умолчанию.

p = 3.14159	Число p . Чтобы напечатать нажмите [Ctrl-P]
e = 2.71828	Основание натурального логарифма
	Бесконечность (10307). Чтобы напечатать, нажмите [Ctrl-Z]
%	Процент. Используйте его в выражениях, подобных 10 % или как масштабируемый множитель.
i	Мнимая единица
j	Мнимая единица
TOL =10-3 (по умолчанию)	Допустимая погрешность при различных алгоритмах аппроксимации (интегрирования, решения уравнений). Изменить значение системной переменной TOL и ниже следующих можно с помощью команды Математика Параметры.
CTOL = 10-3 (по умолчанию)	Устанавливает точность ограничений в решающем блоке, чтобы решение было допустимым.
ORIGIN = 0 (по умолчанию)	Определяет индекс первого элемента векторов и матриц.
FRAME = 0 (по умолчанию)	Используется в качестве счетчика при создании анимаций.
PRNPRECISION = 4 (по умолчанию)	Число значащих цифр.
PRNCOLWIDTH = 8 (по умолчанию)	Число позиций для числа.
CWD	Текущий рабочий каталог в форме строки.

Приложение Б. Встроенные операторы

В таблице, приведенной ниже, используются следующие обозначения:

Xи Y - переменные или выражения любого типа;

x и y- вещественные числа;

zи w- вещественные или комплексные числа;

m и n- целые числа;

A и B- массивы (векторы или матрицы);

i - дискретный аргумент;

t - любая переменная;

f- любая функция.

Оператор	Клавиши	Назначение оператора
X := Y	X : Y	Локальное присваивание X значения Y
X Y	X ~ Y	Глобальное присваивание X значения Y
X =	X =	Вывод значения X
X + Y	X + Y	Сложение X с Y
X + Y	X [Ctrl][ ] Y	То же, что и сложение. Перенос чисто косметический.
X - Y	X - Y	Вычитание из X значения Y
X  Y	X * Y	Умножение X на Y
	X / z	Деление X на z
zw	z ^ w	Возведение z в степень w
	z \	Вычисление квадратного корня из z
	n [Ctrl]\ z	Вычисление корня n-ой степени из z
n !	n !	Вычисление факториала
Bn	B [ n	Ввод нижнего индекса n
An,m	A [ n , m	Ввод двойного индекса
A<n>	A [Ctrl]6 n	Ввод верхнего индекса
	[Ctrl][Shift]4	Суммирование Х по i = m, m + 1, . . . n
	$	Суммирование Х по дискретному аргументу i
	[Ctrl][Shift]3	Перемножение Х по i = m, m + 1, . . . n
	#	Перемножение Х по дискретному аргументу i
	$	Суммирование Х по дискретному аргументу i
	&	Вычисление определенного интеграла f(t) на интервале [a, b]
		Вычисление производной f(t) по t
	[Ctrl]	Вычисление производной n-го порядка функции f(t) по t
( )	‘	Ввод пары круглых скобок с шаблоном
x > y	x > y	Больше чем
x < y	x < y	Меньше чем
x y	x [Ctrl]0y	Больше либо равно
x y	x [Ctrl]9y	Меньше либо равно
z =w	z [Ctrl]=w	Булево равенство возвращает 1, если операнды равны, иначе 0
z w	z [Ctrl]3w	Не равно
 z	 z	Вычисление модуля комплексного z

Приложение В. Встроенные функции