Задачи линейной алгебры

Задача 1. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Кремера решение системы:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы:

4) Введите столбец свободных членов:

5) Вычислите определитель матрицы системы:

6) Вычислите определители матриц ?i, полученных из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов:

7) Найдите решение системы по формулам Кремера:

Задача 2. Решите как матричное уравнение Ax=b систему линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Вычислите решение системы по формуле , предварительно вычислив определитель матрицы системы:

5) Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:

6) Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты вычислений:

Задача 3. Найдите методом Гаусса решение системы линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Сформируйте расширенную матрицу системы, используя функцию augment(A,b), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы А справа столбец свободных членов b:

5) Приведите расширенную матрицу к ступенчатому виду, используя функцию rref(Ar), которая приводит расширенную матрицу к ступенчатому виду с единичной матрицей в первых столбцах, т.е. выполняет прямой и обратный ходы метода Гаусса:

6) Сформируйте столбец решения системы, используя функцию submatrix(Ag,1,4,5,5), которая выделяет блок матрицы Ag, расположенный в строках с 1-ой по 4-ый и в столбцах с 5-го по 5-ый (последний столбец):

7) Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:

Задача 4. Исследуйте однородную систему линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы:

4) Вычислите ранг матрицы системы:

5) Приведите матрицу системы к ступенчатому виду:

6) Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему:

7) Используя функцию Find, решите полученную систему относительно базовых переменных:

8) Запишите общее решение системы:

9) Найдите фундаментальную систему решений:

Задача 5. Исследуйте неоднородную систему:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Сформируйте расширенную матрицу системы:

5) Вычислите ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы системы и сделайте вывод о совместности системы:

6) Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду:

7) Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему и разрешите её относительно базисных переменных:

8) Запишите общее решение:

9) Найдите фундаментальную систему решений: