Определители квадратных матриц

Определитель — число, характеризующее квадратную матрицу А, обозначается |А| или detA или D. В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение detA.

1) Определителем матрицы первого порядка А=(а), или определителем первого порядка, называется элемент а:

D=|А|=|а|=а.

Например: |4|=4, |-3|=-3, |0|=0.

2) Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое определяется по формуле:

Например:

3) Определителем матрицы третьего порядка , или определителем третьего порядка, называется число, которое определяется по формуле:

Для вычисления определителя третьего порядка пользуются правилами треугольника и параллелограмма:

Правило треугольника:

·	·	·			·	·	·		·	·	·
·	·	·	=	+	·	·	·	-	·	·	·
·	·	·			·	·	·		·	·	·

Правило параллелограмма:

·	·	·		+	·	·	·	-	1 строка
·	·	·	=	+	·	·	·	-	2 строка
·	·	·		+	·	·	·	-	3 строка
					·	·	·		1 строка
					·	·	·		2 строка

Правило параллелограмма:

				+	+	+
·	·	·		·	·	·	·	·
·	·	·	=	·	·	·	·	·
·	·	·		·	·	·	·	·
				-	-	-
				1 столбец	2 столбец	3 столбец	1 столбец	2 столбец

Задание 1. Вычислить определители:

Вычислить определитель первого порядка:

Вычислить определитель второго порядка:

Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольника:

Вычислить определитель третьего порядка по правилу параллелограмма:

Минором М_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-ro столбца.

Каждая матрица n-го порядка имеет п² миноров (n-1)-го порядка.

Задание 2. Вычислить все миноры заданной матрицы:

Итак,

Алгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij матрицы п-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)ⁱ⁺^j:

А_ij=(-1)ⁱ⁺^j·М_ij

Задание 3. Вычислить все алгебраические дополнения заданной матрицы:

Итак,	Итак,

Определители первого, второго и третьего порядков считаются определителями низших (младших) порядков.

Определители четвёртого, пятого, … порядков считаются определителями высших (старших) порядков.

Определитель:	Число слагаемых	Число множителей в каждом слагаемом
первого порядка
второго порядка
третьего порядка
четвёртого порядка
пятого порядка
шестого порядка

Заметим, что при вычислении определителя n-го порядка находится сумма n! слагаемых, в каждом из которых по n множителей.

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

– разложение по элементам i-й строки;

– разложение по элементам j-го столбца.

С помощью теоремы Лапласа можно вычислить определитель любого порядка.

При этом для вычисления определителей второго и третьего порядка пользуются схемами вычисления, а для вычисления определителей старших порядков пользуются теоремой Лапласа.

Задание 4. Разложить определитель четвёртого порядка всеми возможными способами (по теореме Лапласа):

D=3·А₁₁+5·А₁₂+7·А₁₃+2·А₁₄ – по элементам первой строки;

– по элементам второй строки;

– по элементам третьей строки;

– по элементам четвёртой строки;

– по элементам первого столбца;

– по элементам второго столбца;

– по элементам третьего столбца;

– по элементам четвёртого столбца;

D=1·А₁₁+5·А₁₂+0·А₁₃+2·А₁₄=1·А₁₁+5·А₁₂+2·А₁₄ – по элементам первой строки;

– по элементам второй строки;

– по элементам третьей строки;

– по элементам четвёртой строки;

– по элементам первого столбца;

– по элементам второго столбца;

– по элементам третьего столбца;

– по элементам четвёртого столбца.

Заметим, что наиболее оптимальным будет вычисление определителя путём его разложения по элементам ___________________________________________________

Задание 5. Вычислите определитель:

Если при вычислении определителя старшего порядка среди его элементов нет нулевых, то их можно получить с помощью элементарных преобразований (или метода Гаусса) согласно свойству определителя: если к одной из строк матрицы прибавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

Задание 6. Вычислите определитель:

Вычислим определитель четвёртого порядка путём его разложения по элементам, например, первого столбца, для чего методом Гаусса приведём его к следующему виду:

Задание 7. Вычислите определитель: