Анализ и расчет дуговых процессов в дугогасительных устройствах ВВ обусловливает совместное рассмотрение термогазодинамических, кинетических, электрических (сетевых), дуговых, механических процессов. Это существенно осложняет поиск приемлемых моделей, и сейчас нет общепринятых моделей, которые удовлетворяли бы всем этим требованиям. Трудности решения уравнений, которые базируются на общих принципах термодинамики и законах механики сплошных сред, связаны, в частности, с достоверностью граничных и начальных условий, которые обычно выбираются с учетом экспериментальных данных (техника эксперимента при изучении дуги достаточно сложна и имеет высокую стоимость). Однако в некоторых случаях удается получить (в первом приближении) простые выражения для расчета характеристик дуги, основываясь на анализе значимости членов исходных уравнений, привлекая результаты теоретических и экспериментальных исследований свойств плазмы (в частности, воздушной и элегазовой).
На стадии оценки характеристик горения дуги в дугогасительном устройстве в режимах, близких к стационарным (основная фаза полупериода переменного тока, постоянный ток, движение столба дуги, стартовые свойства перед переходным процессом в нуле тока и т. д.), удобно использовать каналовую модель дуги и ее модификации.
В переходных процессах (с учетом влияния сети, линии) отключения, для формирования моделей привлекаются результаты экспериментальных исследований, и их сочетание с исходными общими теоретическими предпосылками позволяет построить адаптивные модели дуги. Различные ее модификации имеют тесную связь с каналовыми моделями, расширяя возможности друг друга.
Элементы каналовых моделей дуги отключения. Рассмотрим несколько примеров использования элементов каналовых моделей дуги отключения. Возможности каналовых моделей для численного моделирования процессов горения и гашения дуги отключения (как на микро, так и на макроуровне описания процессов в ДУ) постоянно расширяются и совершенствуются. На рис. 2.15 представлен типичный пример расчета по каналовой модели характеристик элегазового дуги отключения в ДУ с продольным дутьем: профили изменения температуры по радиусу канала для тока 35 А до нуля тока (кривая 1), то же в момент нуля тока (кривая 2) и профиль температуры на второй микросекунде после нуля тока (кривая 3).
При этом обычно выделяются: область ствола дуги отключения (зона, где удельная электропроводность не равна нулю), область высокотемпературной «мантии» и внешний поток дугогасящего газа (в данном примере температура внешнего потока принята ТХ = 1600 К).
Стационарная дуга в узком канале. Рассмотрим фазу большого тока электрической дуги отключения, принимая во внимание следующие допущения: столб дуги обладает цилиндрической симметрией, стабилизирован стенкой цилиндрического канала с радиусом R0; процесс стационарный; дуга разбивается на проводящую цилиндрическую область с радиусом r0 и непроводящую область (рис. 2.16); в столбе дуги соблюдаются условия локального термодинамического равновесия; определяющим механизмом отвода тепла к стенке является теплопроводность (конвекция и излучение учитываются введением коэффициента φ).
Рис. 2.15. Результаты расчета профиля температуры дуги отключения в элегазовом ДУ в области нуля тока
Рис. 2.16. К расчету стационарной дуги в канале
При этих условиях уравнение баланса энергии (2.5) записывается в виде (уравнение Эленбааса-Геллера)
После введения теплового потенциала (подстановки Киргофа) имеем
(2.7)
Согласно постановке задачи в первом приближении, изменение удельной проводимости σэ(ST) (рис. 2.16) представим в виде двух зон: σэ = σэ0 = const при и σэ = σэ0 = 0 при . Тогда граничные условия для проводящей зоны I имеют вид r = 0, SТ = SТКи r = r0, SТ = SТ0 (рис. 2.16), и решение уравнения (2.7) можно записать в виде
(2.8)
Для непроводящей зоны решение уравнения (2.7) с граничными условиями r = r0, SТ=SТ0 и r = R0, STR = 0 имеет вид
(2.9)
Отсюда следует, что изменение в проводящей области параболическое, а в непроводящей — логарифмическое.
Для определения радиуса дуги r0 примем в качестве дополнительного условия, что на границе двух зон при r = r0 имеется dSTI/dt=dSTII/dt. Тогда из уравнений (2.8) и (2.9) получим
(2.10)
Учитывая, что , а согласно уравнению (2.8) , перепишем выражение (2.10) в виде
(2.11)
Отсюда радиус дуги .
Диаметр дуги отключения в системе одностороннего продольного дутья (рис. 2.2). Использование профилированного канала в виде сопла 2 — необходимое условие ускорения газового потока и достижения высокой степени интенсивности тепломассообмена между плазмой 1 и потоком холодного газа (газодинамические характеристики такой системы рассмотрены в Приложении 6). Рассмотрим течение плазмы 1 как стационарный одномерный процесс, где основной вид теплообмена — конвективный перенос тепла за счет высокоскоростного потока. Тогда уравнение (2.5) можно записать в виде
(2.12)
В первом приближении для этих двух коаксиальных потоков учитывается равенство числа Маха потоков Мх = Мп, изменения давления рх = рп. Принимая
где согласно уравнению неразрывности (П5.13).
Отсюда уравнение (2.12) представим так:
Будем считать, что параметры ρ, h, ux, σэ не зависят от координаты х,а учитывая, что , имеем
(2.13)
Разделяя переменные и интегрируя уравнение (2.13), получаем выражение относительно критической площади сечения дуги Sкр в продольном потоке газа ДУ одностороннего дутья [1]
(2.14)
где хкр — расстояние между контактом вверх по потоку и критическим сечением сопла. Для критического сечения сопла поток энтальпии Fкр =162 кВт/(атм×см2), σ = 100 (Ом×см)-1 при Т = 20 000 К. Тогда критический диаметр дуги
dД = кг (xкр/ркр)0,25I 0,5, (2.15)
где кг = 0,005 (воздух); 0,0057 (элегаз).
Характерно, что напряженность поля Ε не зависит от тока и равна
.
Удовлетворительное согласование экспериментальных данных с расчетом по формуле (2.15) показано на рис. 2.17, где 1, 3 — расчет по формуле (2.15); 2, 4 — экспериментальные данные разных авторов [1]. Несмотря на существенные допущения, данная модель дуги правильно описывает процесс и удобна для приближенных инженерных расчетов.
Рис. 2.17. Экспериментальные и расчетные данные для критического диаметра дуги
Однако при анализе критических ситуаций, в частности, когда диаметр дуги близок к диаметру горловины сопла, или рассматриваются околонулевые процессы, эта модель не подходит.
Рассмотрим некоторые экспериментальные данные по исследованию диаметра электрической дуги отключения в продольном потоке газа. Благодаря высокой плотности среды в элегазовых ДУ, имеет место более интенсивный уровень турбулентных пульсаций в зоне смешения дугового разряда и потока элегаза по сравнению с воздушными ДУ. Основными факторами, связанными с началом возникновения турбулентности, являются: профиль аксиального давления, который определяет гидродинамическую неустойчивость границы дуги; уровень исходных возмущений, который инициирует начало турбулентности (вносимые извне колебания скорости и плотности); электромагнитная неустойчивость; неустойчивость точки стагнации. На рис. 2.18 представлены измерения проводящего сечения дуги в воздухе (см. рис. 2.18,а, амплитуда тока 32,4 кА) и элегазе (рис. 2.18,б, амплитуда тока 51,7 кА) для зоны вверх по потоку в процессе протекания полупериода тока отключения (ДУ одностороннего дутья с двумя ступенями давления, перепад давлений 0,7/0,1 МПа, диаметр сопла 50 мм, частота тока 75 Гц) [3]. Наличие двух составляющих (стационарной и пульсирующей) для сечения элегазовой дуги (см. рис. 2.18,б) является характерной особенностью дугового разряда в продольном потоке элегаза по сравнению с воздушной средой, когда пульсационной составляющей можно пренебречь.
Рис. 2.18. Результаты измерений сечения дуги в зоне вверх по потоку для газовых ДУ
При увеличении тока отключения сохраняются две составляющие диаметра элегазовой дуги. Однако, если сечение пульсационной составляющей пропорционально увеличению тока, то ядро дуги изменяется слабо (см. рис. 2.19, где r – сечение дуги в продольном потоке воздуха; ●, ¡ – сечения дуги по внешней пульсационной составляющей в продольном потоке элегаза и по внутренней составляющей ствола дуги соответственно).
Особый интерес представляют данные об изменении критического диаметра дугиdд в области нуля тока в зависимости от скорости подхода тока отключения dI/dt к нулю (рис. 2.20). Как следует из эксперимента (см. рис. 2.20, где кривая 1 - dI/dt = 20,5 А/мкс, кривая 2 — dI/dt = 16,5 А/мкс, кривая 3 — dI/dt = 15 А/мкс), в области нуля тока dд » 3,6 ± 0,5 – 1,2 ± ±0,2 мм. Скорость восстановления напряжения dU/dt изменялась от 0,7 кВ/мкс до 1,75 кВ/мкс (критический диаметр сопла, dс = 35 мм, перепад давлений 0,1/0,78 МПа).
Рис. 2.19. Зависимость сечения дуги для элегазового ДУ от тока отключения
Рис. 2.20. Критический диаметр дуги
при подходе тока к нулю при разных dI/dt
Адаптивные модели дуги отключения. Представление электрической дуги между контактами выключателя в виде нелинейного сопротивления Rэ в схеме замещения сети (или испытательной установки) — удобный метод изучения коммутационной способности выключателя методами математического моделирования (см. рис. 1.3). Дополняя схему замещения электрическим аналогом дуги отключения, можно, в частности, проанализировать околонулевые процессы в ДУ переменного тока при коммутации (модель Майра).
Модель Майра. Многочисленные адаптивные модели дуги отключения в нуле тока (модели «черного ящика») базируются в сущности на модели Майра [5]. Исходным уравнением для данной модели является уравнение баланса энергии в виде
. (2.16)
Здесь Н — аккумулированная энергия (полная энтальпия); Pin, Pout— подведенная и отведенная мощности соответственно.
В первом приближении рассмотрим межконтактный промежуток (см. рис. 2.2) с подводимой от дуги мощностью Рin =IД UД.
Используем подстановку Майра:
,
где Н0 — постоянная теплосодержания.
Представим уравнение (2.16) в следующем виде:
, (2.17)
где tм = Н0 Рout — постоянная времени дуги по Майру.
Уравнение (2.17) представляет собой математическое выражение динамической вольт-амперной характеристики дуги и рассматривается совместно с уравнениями сети. Следовательно, данная адаптивная модель дуги отключения при совместном решении с уравнениями, характеризующими модель сети, позволяет определить гашение (или негашение) дуги как в зависимости от внешних условий (параметры схемы замещения сети), так и внутренних (взаимодействие дуги с охлаждаемой средой, свойства среды и параметры дугогасительного устройства).
В частности, в первом приближении короткое замыкание на выводах выключателя (см. рис. 1.3) может быть проанализировано по упрощенной схеме замещения LC, а поведение дуги в расчетной модели по уравнению (2.17).
Для расчета характеристик переходного процесса уравнение (2.17) следует дополнить уравнениями
, , (2.18)
где U0 — напряжение источника (амплитуда); L,C — индуктивность и емкость сети со стороны источника.
Для получения обобщенных характеристик переходного процесса удобно выполнить нормирование уравнений (2.17), (2.18), вводя новые переменные: , , . Тогда уравнение (2.17) можно переписать в виде , где , ).
Следовательно, коммутационная способность может быть представлена как a(b). Типичные зависимости нормированного тока в области нуля тока от нормированного времени для а = 4 = const, 50≥ b ≤125 в виде представлены на рис. 2.21. Следовательно, данная адаптивная модель позволяет определить гашение или негашение дуги в зависимости как от внешних условий (параметров схемы замещения сети), так и внутренних (взаимодействие дуги с охлаждаемой средой, свойства среды и параметры дугогасительного устройства).
Рис. 2.21. Зависимости нормированного тока от времени
Достоверность расчета с использованием моделей типа Майра зависит от определения по экспериментальным данным IД (t), UД(t) зависимостей tм(t), Рout(t) в околонулевой области (см. рис. 2.22) с достаточной точностью [5]. Данные, приведенные на рис. 2.22, получены для модели элегазового ДУ одностороннего дутья с двумя ступенями давления 1/0,7 МПа при токе отключения 15 кА [3].
Рис. 2.22. Зависимость отведенной мощности и постоянной времени дуги по Майеру от времени перед нулем тока
Сложность определения данных параметров и неоднозначность переноса их на другие условия испытаний и параметры (характеристики) ДУ объясняют многочисленные попытки улучшить модель Майра. В частности, следует рассматривать сопротивление межконтактного промежутка в виде
,
так как значимость четырех основных зон дугогашения в межконтактном промежутке газовых ДУ (зона вверх по потоку, зона горловины сопла, зона диффузора и зона за срезом сопла) в многообразных номинальных режимах отключения КЗ различна.
Тогда постоянная времени дуги отключения определяется как
,
где аi =Rэi/Rэ, Rэi ,ti — сопротивление и постоянная времени дуги i зоны межконтактного промежутка, что существенно усложняет адаптивное моделирование.
Модель Касси. При горении дуги переменного тока (в большей части полупериода тока) напряженность на стволе дуги Ε = Ecт = const и практически не зависит от тока I. Отсюда следует .
Тогда уравнение (2.17) имеет вид
, (2.19)
где τκ = Н0/Рout — постоянная времени дуги по Касси.
Успех использования уравнения (2.19) на практике определяется точностью оценки τκ и Εст согласно экспериментальным данным.
имеем
(2.7)
и σэ = σэ0 = 0 при 
. Тогда граничные условия для проводящей зоны I имеют вид r = 0, SТ = SТК и r = r0, SТ = SТ0 (рис. 2.16), и решение уравнения (2.7) можно записать в виде
(2.8)
(2.9)
(2.10)
, а согласно уравнению (2.8) 
, перепишем выражение (2.10) в виде
(2.11)
.
(2.12)
согласно уравнению неразрывности (П5.13).
, имеем
(2.13)
(2.14)
.
. (2.16)
,
, (2.17)
, 
, (2.18)
, 
, 
. Тогда уравнение (2.17) можно переписать в виде 
, где 
,
).
,
,
.
, (2.19)