Обозначим через 
множество всех подстановок 
-ой степени.
Пусть 
- квадратная матрица -ого порядка.
Определение. Определителем матрицы называется число (обозначается 
), вычисляемое по формуле
.
Здесь суммирование ведется по множеству подстановок , т.е. всего здесь ! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение элементов матрицы , взятых по одному из каждого столбца и каждой строки, умноженное на 
(знак определяется значением сигнатуры 
.
Определитель 1-ого порядка.
В этом случае 
, множество содержит одну подстановку 
. Следовательно, 
, т.е. определитель матрицы 1-ого порядка равен элементу этой матрицы.
Определитель 2-ого порядка.
Пусть 
.
Множество состоит из двух подстановок:
. 
При этом 
.
