Введение

Фракталы встречаются везде, где заканчиваются правильные формы евклидовой геометрии. Все, что создано человеком, ограничено плоскостями. Если встречается природный объект, то с первого взгляда видно, что осознать, описать его форму со всеми шероховатостями можно только приблизительно. Здесь на помощь приходят фракталы.
Термин "фрактал" (от английского слова "fraction" - дробь) введен бельгийским математиком Бенуа Мандельбротом и обозначает множество, имеющее дробную фрактальную размерность. Для пояснения фрактальной размерности необходимо ввести понятие топологической размерности. Под топологической размерностью Dt множества в линейном пространстве понимают число линейно независимых координат в пространстве. Например, окружность и линия имеют топологическую размерность 1; круг и квадрат - 2; шар и куб - 3. Фрактальная размерность множества D - размерность того пространства, которое полностью заполняется множеством. Дл связи фрактальной и топологической

размерностей используют показатель Херста Н, вычисляемый по формуле: H = D - Dt. Фракталом называют множество, фрактальная размерность которого не совпадает с топологической. Например, для кривых Пеано (кривые, заполняющие плоскость) Dt = 1, D = 2.
Рассмотрим классический пример фрактального множества - триадную кривую Кох (рис. 1).

Рис. 1. Построение триадной кривой Кох

Построение кривой начинается с единичного отрезка, который называетс инициатором и является предфракталом 0-го порядка. Далее инициатор заменяется на образующий элемент - кривую из четырех прямолинейных звеньев, каждое из которых имеет длину 1/3. Так образуется предфрактал 1-го порядка. Его длина равна 4/3. Для построения предфрактала следующего порядка каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. В результате получаем кривую, состоящую из 4 x 4 = 16 звеньев, каждое из которых имеет длину (1/3) / 3 = 1/9, обща длина равна 16/9. Длина предфрактала n-го порядка равна (4/3) в степени n. Очевидно, что предел длины кривой при n, стремящемся к бесконечности, равен бесконечности. В итоге получили кривую бесконечной длины, заполняющую ограниченное множество на плоскости, что само по себе очень любопытно. Если построение кривой начинать не с отрезка, а с треугольника, и применить вышеперечисленные построения к каждой его стороне, то получим "снежинку" Кох (рис. 2).

Рис. 2. "Снежинка" Кох (Предфрактал 4-го порядка)

Эта фигура интересна тем, что ее периметр - линия бесконечной длины - ограничивает конечную площадь. В [3] показано, что фрактальна размерность триадной кривой Кох D равна ln4/ln3, то есть D является дробным числом, находящимся между 1 и 2.