Теорема математического анализа метода половинного деления.

Согласно тому что функция, непрерывна в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нудь внутри интервала.

Пусть функция непрерывна на отрезке [ , ]. Процедура метода заключается в последовательном сокращении длинны отрезка для локализации корня уравнения. Первоначально проверяются значения заданной функции на концах отрезка.

В случае, если

,

Один из концов отрезка является корнем уравнения.

Пусть на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то есть имеет место соотношение ,

Вычисляется значение аргумента в середине отрезка, , и вычисляется значение

функции в этой точке.

Далее сравниваются знаки функций в точке например, в левой точке отрезка.

Если имеет место соотношение (рис.3.1), то корень следует искать на отрезке . В противном случае-корень разыскивается на отрезке , в результате выполненной операции исходный отрезок сократился вдвое.

Схема метода половинного деления.

Далее, в зависимости от ситуации, отрезок вновь делится пополам,

И так далее.

Для прекращения вычислительной процедуры применяют различные критерии:

-если функция достаточно ‘пологая’, имеет смысл использовать условие (рис. а).

-если функция ‘круто’ меняет своё значение, целесообразно применять условие(рис. b).

b

а

Частные случаи поиска корня нелинейного уравнения

В случае, если заранее неизвестен характер ‘поведения’ функции, имеет смысл использовать одновременно оба условия для прекращения итерационного процесса.