Метод Ньютона

Для поиска корней уравнения (1) в окрестности решения выберем точку и разложим функцию в ряд Тейлора возле этой точки:

Отсюда следует приближённое равенство

Которое с учётом

Позволяет получить выражение

Приводящее к итерационному процессу следующего вида:

Выберем на отрезке[a; b] произвольную точку х₀ – нулевое приближение. Затем найдем:

x₁ = x₀ - ,

потом x₂ = x₁ - .

Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к вычислению чисел x_n по формуле:

x_n = x_n-1 - n = 1,2,3...... .

Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие:

|x_n - x_n-1| < e.

Очевидно, что метод Ньютона можно рассматривать как вариант метода простых итераций, при условии .

Геометрическая иллюстрация итерационного процесса метода Ньютона приведена на рисунке, из которого понятно, что каждое следующее приближение может быть определено из геометрических построений:

Этот процесс называется методом Ньютона.

Блок-схема метода Ньютона.

true false

Геометрический смысл процедуры Ньютона

Пример. Требуется определить корни уравнения .

Согласно рассмотренному методу Ньютона строится итерационная процедура

Поскольку

Таким образом, применение процедуры метода Ньютона к заданному уравнению приводит к вычислительному процессу

Для а=2 ‘точное’ решение .Результаты расчётов приведены в таблице 3.2.

Последовательность получения приближённого решения уравнения методом Ньютона.